双曲线及其标准方程(二)_图文


§ 2.3.1 双曲线及其标准方程
(第二课时)
M

F1

F2

§ 2.3.1 双曲线及其标准方程
复习回顾
双曲线的定义
MF1 ? MF2 ? 2a( F1 F2 ? 2c ? 2a ? 0)

图形
F1 (?c,0) 、F2 (c,0) F1 (0, ? c) 、F2 (0, c)

焦点坐标 标准方程
a、b、c 的关系

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 a b a b a 2 ? b2 ? c 2 (c ? a ? 0, c ? b ? 0)

上一节,我们学习了双曲线的定义及推导出了双曲 线的标准方程,这一节我们一起来体会这些知识的运用.

例 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程.

解:∵ F1F2 ? 10 >6,

PF1 ? PF2 ? 6

∴由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x y ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

思考与练习 1: 已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解:∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

思考与练习 2: 已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

思考与练习 2: 已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.
解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF ? PF ? 6 1 2

∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支(右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ? 0) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声的时间 比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:由声速及在A地听到炮弹爆炸声的时间比在B地晚 2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远 680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦 点的在靠近B处的双曲线的一支上. 解:如图所示,建立直角坐角系xOy,使A、B两点在x轴上, y 并且点O与线段AB的中点重合 P 设爆炸点P的坐标为(x,y), 则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 A o B x AB ? 800 即 2a=680,a=340 ? 2c ? 800, c ? 400, b2 ? c2 ? a2 ? 44400 800 ? PA ? PB ? 680 ? 0 , ? x ? 0 x2 y2 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 ? ? 1( x ? 0) 115600 44400

思考: 例 2 表明,根据两个不同的观测点测得同一炮 弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的 方程,但不能确定爆炸点的准确位置 . 而现实生活中 为了安全, 我们最关心的则是炮弹爆炸点的准确位置, 怎样才能确定爆炸点的准确位置 ?
答:再增设一个观测点C,利用B、C(或A、C)两处测得 的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解 这两个方程组成的方程组,就能确定.这是双曲线的一 个重要应用.

课堂练习巩固及提高: 1.求中心在原点,焦点在 X 轴上,经过点 (? 2, ? 3) ,
2 y 15 2 ?1 ( , 2) 的双曲线的标准方程. x ? 3 3 x2 y 2

2. 已知双曲线与椭圆

25 9 x2 2 ? y ?1 过点 (2 15, 3) ,求双曲线的方程.

?

? 1 的有相同的焦点 , 且经

15

3.课本 P67 习题 2.3 A 组第 5 题 如图,圆 O 的半径为定长 r ,A 是 圆 O 外一定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q,当点 P 在圆 O 上运动时, 点 Q 的轨迹是什么?为什么? 几何画板演示

|| QA | - | QO ||= r

学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义 及其标准方程 , 并运用双曲线的定义及其标 准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中 的重要应用.

课后作业: 1.已知双曲线的焦点为 F1 (0, ?6) , F2 (0,6) ,且经 过点 M (2, ?5) ,求该双曲线的轨迹方程. 2.课本 P

67

习题 2.3B 组第 2 题

课后思考题: 1. 已知动圆 ⊙P 与 ⊙F1 : ( x ? 5)2 ? y2 ? 36 外切 , 且过点 F2 (5,0) ,求动圆圆心 P 的轨迹方程. 2.已知点 A(0, 7) , B(0, ?7) , C (12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程.


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