北京市西城区2015届高三上学期期末考试数学理试题及答案


北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 2015.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {?1, 0,1}, B ? {x | x2 ? x ? 2},则集合 AI B ? ( ) (A){?1, 0,1} (B){?1, 0} (C){0,1} (D){?1,1} 2.设命题 p : ? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |?| a | ? | b | ,则 ?p 为( ) (A)? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |≥| a | ? | b | (B) ? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |?| a | ? | b | (C) ? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |?| a | ? | b | (D) ? 平面向量 a 和 b ,| a ? b |≥| a | ? | b | 3.在锐角 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 2b ,sin B ? 3 ,则( ) 4 (A) A ? ? 3 (B) A ? ? 6 (C) sin A ? 3 3 (D) sin A ? 2 3 4.执行如图所示的程序框图,输出的 x 值为( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 ) 开始 a=2,x=3 y ? ax y ? 10x ? 3 是 输出 x 结束 否 x=x+1 -1- 5.设函数 f (x) ? 3x ? b cos x , x ?R ,则“ b ? 0 ”是“函数 f (x) 为奇函数”的( ) (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 6.一个四棱锥的三视图如图所示,那么对于这个四棱锥,下列说法中正确的是( ) (A)最长棱的棱长为 6 (B)最长棱的棱长为 3 (C)侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 (D)侧面四个三角形都是直角三角形 2 11 正(主)视图 2 1 侧(左)视图 1 1 俯视图 7. 已知抛物线 C : y2 ? 4x ,点 P(m, 0) ,O 为坐标原点,若在抛物线 C 上存在一点 Q ,使得 ? OQP 90o ,则实数 m 的取值范围是( ) (A) (4,8) (B) (4,+ ? ) (C) (0, 4) (D) (8,+ ? ) ?x ? y≤1, 8. 设 D 为不等式组 ??2x ? y≥ ?1, 表示的平面区域,点 B(a,b) 为坐标平面 xOy 内一点,若对于区 ??x ? 2 y≤1 uuur uuur 域 D 内的任一点 A(x, y) ,都有 OA?OB≤1成立,则 a ? b 的最大值等于( ) (A)2 (C)0 (B)1 (D)3 -2- 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 z ? 2 ? i ,则| z |? _____. 1? 2i 10.设 F1, F2 为双曲线 C: x2 a2 ? y2 16 ? 1(a ? 0) 的左、右焦点,点 P 为双曲线 C 上一点,如果 | PF1 | ? | PF2 |? 4 ,那么双曲线 C 的方程为____;离心率为____. 2 x 3 11.在右侧的表格中,各数均为正数,且每行中的各数从左到右成 等差数列,每列中的各数从上到下成等比数列,那么 y a 3 2 x ? y ? z ?______. 1 5 z 2 8 12. 如图,在 ?ABC 中,以 BC 为直径的半圆分别交 AB , AC 于点 E , F ,且 AC ? 2AE ,那么 AF ? ____; ?A ? _____. AB A F E B C 13.现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序,要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个唱 歌节目,那么演出顺序的排列种数是______. (用数字作答) 14. 设 P,Q 为一个正方体表面上的两点,已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 ( )角 后能与自身重合,那么符合条件的直线 PQ 有_____条. -3- 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ? 2 3 sin x cos x ? cos x , x∈R 的部分图象如图所示. 44 2 (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 设点 B 是图象上的最高点,点 A 是图象与 x 轴的交点,求 tan ?BAO的值. y B O A x 16.(本小题满分 13 分) 现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下: (1)投资股市: 投资结果 概率 (2)购买基金: 获利 40% 1 2 不赔不赚 1 8 亏损 20% 3 8 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概率 p 1 q 3 (Ⅰ)当 p = 1 时,求 q 的值; 4 (Ⅱ)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资,如果一年后 他们中至少有一人获利的概率大于 4 ,求 p 的取值范围; 5 (Ⅲ)丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这 两种方案中选择一种,已知 p = 1 , q = 1 ,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投 2 6 资收益的数学期望较大?给出结果并说明理由. -4- 17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,

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