18学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案北师大版选修2_1


§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 & 3.2 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理 [对应学生用书P22] 空间向量的标准正交分解与坐标表示 学生小李参加某大学自主招生考试,在一楼咨询处小李得知:面试地点由此向东 10 m, 后向南 15 m,然后乘 5 号电梯到位于 6 楼的 2 号学术报告厅参加面试.设 e1 是向东的单位 向量,e2 是向南的单位向量,e3 是向上的单位向量. 问题 1:e1,e2,e3 有什么关系? 提示:两两垂直. 问题 2:假定每层楼高为 3 m,请把面试地点用向量 p 表示. 提示:p=10e1+15e2+15e3. 标准正交基与向量坐标 (1)标准正交基: 在给定的空间直角坐标系中,x 轴、y 轴、z 轴正方向 量 i,j,k 叫作标准正交基. (2)标准正交分解: 设 i,j,k 为标准正交基,对空间任意向量 a,存在唯一一组三元有序实数(x,y,z), 使得 a=xi+yj+zk,叫作 a 的标准正交分解. (3)向量的坐标表示: 在 a 的标准正交分解中三元有序实数(x,y,z)叫作空间向量 a 的坐标,a=(x,y,z) 叫作向量 a 的坐标表示. (4)向量坐标与投影: ①i,j,k 为标准正交基,a=xi+yj+zk,那么 a·i=x,a·j=y,a·k=z.把 x,y, 的单位向 z 分别称为向量 a 在 x 轴、y 轴、z 轴正方向上的投影. ②向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影. ③一般地,若 b0 为 b 的单位向量,则称 a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量 a 在向量 b 上的 1 投影. 空间向量基本定理 空间中任给三个向量 a,b,c. 问题 1:什么情况下,向量 a,b,c 可以作为一个基底? 提示:它们不共面时. 问题 2:若 a,b,c 是基底,则空间任一向量 v 都可以由 a,b,c 表示吗? 提示:可以. 如果向量 e1,e2,e3 是空间三个不共面的向量,a 是空间任一向量,那么存在唯一一组 实数 λ 1,λ 2,λ 3 使得 a=λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3. 其中 e1,e2,e3 叫作这个空间的一个基底. a=λ 1e1+λ 2e2+λ 3e3 表示向量 a 关于基底 e1,e2,e3 的分解. 空间向量基本定理表明,用空间三个不共面的已知向量 a,b,c 可以表示出空间任一向 量;空间中的基底是不唯一的,空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底. [对应学生用书P23] 空间向量的坐标表示 [例 1] 如图,在空间直角坐标系中,有长方体 ABCD-A′B′C′D′,AB=3,BC=4, AA′=6. (1)写出 C′的坐标,给出 AC ? 关于 i,j,k 的分解式; (2)求 BD? 的坐标. 2 [思路点拨] (1)C′的坐标(也是 AC ? 的坐标),即为 C′在 x 轴、y 轴、z 轴正方向上 的投影,即|OD|,|OB||OA′|. (2)写出 BD? 关于 i,j,k 的分解式,即可求得 BD? 的坐标. [精解详析] (1)∵AB=3,BC=4,AA′=6, ∴C′的坐标为(4,3,6). ∴ AC ? =(4,3,6)=4i+3j+6k. (2) BD? = AD? - AB . ∵ AD? = AD + AA? =4i+6k, ∴ BD? = AD? - AB =- AB + AD + AA? =4i-3j+6k, ∴ BD? =(4,-3,6). [一点通] 1.建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提,应充分利用已知图形 的特点,寻找三条两两垂直的直线,并分别为 x,y,z 轴进行建系. 2.若表示向量 AB 的坐标,只要写出向量 AB 关于 i,j,k 的标准正交分解式,即可 得坐标. 1 1.在如图所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,B1E1= A1B1, 4 则 DE1 的坐标为________. 解析:显然 D 为原点,设 E1(x,y,z), 3 易知 x=1,y= ,z=1, 4 ? 3 ? ∴ DE1 =?1, ,1?. ? 4 ? 3 ? 3 ? 答案:?1, ,1? ? 4 ? 2.已知点 A 的坐标是(1,2,-1),且向量 OC 与向量 OA 关于坐标平面 xOy 对称,向 量 OB 与向量 OA 关于 x 轴对称,求向量 OC 和向量 OB 的坐标. 解:如图,过 A 点作 AM⊥平面 xOy 于 M,则直线 AM 过点 C,且 CM=AM, 则点 C 的坐标为(1,2,1),此时 OC =(1,2,1),该向量与 OA =(1,2,- 1)关于平面 xOy 对称. 过 A 点作 AN⊥x 轴于 N, 则直线 AN 过点 B, 且 BN=AN, 则 B(1, -2,1), 此时 OB =(1,-2,1),该向量与 OA 关于 x 轴对称. π 3.在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB= ,AO=4,BO=2,AA1=4, 2 D 为 A1B1 的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求 DO , A1 B 的 坐标. 解:(1)∵ DO =- OD =-( OO1 + O1 D ) 1 =-[ OO1 + ( OA + OB )] 2 1 1 =- OO1 - OA - OB =-4k-2i-j. 2 2 ∴ DO =(-2,-1,-4). (2)∵ A1 B = OB - OA1 = OB -( OA + AA1 ) = OB - OA - AA1 =2j-4i-4k. ∴ A1 B =(-4,2,-4). 向量 a 在 b 上的投影 [例 2] 如图,已知单位正方体 ABCD-A′B′C′D′. (1)求向量 CA? 在 CD 上的投影; (2) DC 是单位向量,且垂直于平面 ADD′A′,求向量 CA? 在 DC 上的

相关文档

高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理教学案北师大版选修2_1
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(2)课件北师大版选修2_1
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(3)课件北师大版选修2_1
确山高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理教案北师大版选修2_1
高中数学第二章空间向量与立体几何2.3向量的坐标表示和空间向量基本定理(1)课件北师大版选修2_1
18学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示学案北师大版选修2_1
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 教案 北师大版选修2-1
高中数学(北师大版选修2-1)第二章 空间向量与立体几何 3.3空间向量基本定理
电脑版
?/a>