河南省安阳二中高二数学最新学案 第3章 第13课时 《基本不等式的应用》(1)(教师版)(人教A版必修5)


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第 13 课时基本不等式的应用(1)
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实际问 题
数学 建模
利用基本不 等式
求 最值
学习要求
1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值的实际问题。 2.通过对实际问题的研究,体会数学建模的思想。 3.开拓视野,认识数学的科学价值和人文价值.
【课堂互动】
自学评价
1.求函数最值的方法: 证法很多,里面应包含利用基本不等式的方法. 2.若半圆的半径为 R , 则其半圆上的动点到直径两端点距离之和的最大值为
2 2R .
【精典范例】 例1.用长为 4a 的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等
式求解). 【解】
见书.

听课 随笔

.
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例2.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为 4800m3, 深度为 3m , 如果池 底每 1m2 的造价为 150 元, 池壁每 1m2 的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元?
见书.
例3.某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台, 每批都购入 x 台(x 为正整数), 且每批需付运费 400 元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购 入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400 台, 则全年需用去运费和保管费 43600 元, 现在全年只有 24000 元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货 的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.
解:设总费用为 y 元,保管费用与电视机总价值的比例系数为 k(k>0),每批购入 x 台,则 y ? 3600 ? 400 ? k(2000 ? x) .
x 由于当 x ? 400 时, y ? 43600 解得 k ? 0.05.
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所以 y ? 3600 ? 400 ? 100x ? 24000 元. x

此为所需最低费用.

当且仅当 x=120 时,取得等号.

听课

因此只需每批购入 120 台,可使资金够 随笔

用.

思维点拔:
先建目标函数,再用基本不等式求最 加以理解和掌握.
追踪训练
1.建造一个容积为 8m3, 深为 2m 的长 造价为每平方米 120 元, 池壁的造价为每平 最低造价.
略解:类似于例2,可求得当水池为正 元.

值,这是一种很常见题型, 方体无盖水池, 如果池底的 方米 80 元, 求这个水池的
方体时,造价最低,为 1760

2.巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高 地面 2 米, 若从离地面 1.5 米处观赏此画, 问
略解:设离墙 x 米,视角为ψ ,

点离地面 14 米, 最低点离 离墙多远时, 视角最大?

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12.5 ? 0.5 则 tan? ? x x =

12

? 12

1 ? 12.5 ? 0.5 x ? 25 5

xx

4x2

(当 x=2.5 时等号成立) 答:略.

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