2019学年(北师大版)高中数学必修四:2.7《向量在物理中的应用举例》例题讲解


2019 学年北师大版数学精品资料
向量在物理中的应用举例
向量起源于物理,是从物理学中抽象出来的数学概念.物理学中的许多问题, 如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决.用数学知识解决物理问题,首先 要把物理问题转化为数学问题,即根据题目的条件建立数学模型,再转化为数学 中的向量运算来完成. 1.解决力学问题 例1 质量为 m 的物体静止地放在斜面上,斜面与水平面的夹角为 ? ,求斜面

对于物体的摩擦力和支持力的大小. 解:如图 1,物体受三个力:重力 G (竖直向下, 大小为 mg N) ,斜面对物体的支持力 F (垂直于斜面, 向上,设其大小为 F N) ,摩擦力 f (与斜面平行,向 上,大小为 f N) . 由于物体静止,故这三个力平衡,合力为 0 , 即G ? F ? f ? 0 . ①

记垂直于斜面向下、大小为 1N 的力为 e1 ,与斜面平行向下、大小为 1N 的力
0) f ? (0, ? f ) ,由 e1 旋转到 G 方向的角为 ? , 为 e 2 ,以 e1 , e 2 为基底,则 F ? (? F ,,

则 G ? (mg cos?,mg sin ? ) .
0) , 由①得过且过 G ? F ? f ? ( mg cos? ? F , mg sin ? ? f ) ? (0,
? mg cos? ? F ? 0 , mg sin ? ? f ? 0 ,

故 F ? mg cos? , f ? mg sin ? .

例2

有两根柱子相距 20m,分别位于电车的两侧,在两柱之间连结一条水平

的绳子,电车的送电线就悬挂在绳子的中点,如果送电线在这点垂直向下的作用

力是 17.8N,则这条成水平的绳子的中点下降 0.2m,求此时绳子所受的张力. 解:如图 2 所示,设重力作用点为 C ,绳子 AC,BC 所承受的力分别记为 CE, CF ,重力记为 CG .由 C 为绳子 的中点知 CE ? CF . 由 CE ? CF ? CG ,知四边形 CFGE 为菱形. 又 cos ?FCG ? cos ?DCB ?
0.2 10 ? (0.2)2
2

? 0.02 ,

1 CG 8.9 ? CE ? CF ? 2 ? ? 445 . cos ?FCG 0.02

即绳子所受的张力为 445N.

2.解决与位移、速度有关的问题 例3 一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向

为东偏南 30 ,风速为 4m/s,这时气象台报告实际风速为 2m/s.试求风的实际方 向和汽车的速度大小. 分析:这是一个需要用向量知识解决的物理问题,因此,先要用物理概念建 立解题意向,再使用向量形象描述,进而分析题意,创建数学模型,最后利用解 直角三角形的技巧把问题解决. 解:依据物理知识,有三对相对速度,汽车对地的速度为 v车地 ,风对车的速 度为 v风车 ,风对地的速度为 v风地 . 风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度,即

v风地 ? v风车 ? v车地 .
如图 3,根据向量加法的平行四边形法 则可知,表示向量 v风地 的有向线段 AD 是
ACDB 的对角线.
AC ? 4m/s , ?ACD ? 30 , AD ? 2m/s ,

??ADC ? 90 .

在 Rt△ ADC 中, DC ? AC· cos30 ? 2 3(m/s) . 即风向的实际方向是正南方向;汽车速度的大小为 2 3m/s .

例4

一位模型赛车手摇控一辆赛车,向正东方向前进 1 米,逆时针方向转弯

? 度,继续按直线向前行进 1 米,再按逆时针方向转变 ? 度,按直线向前行进 1

米,按此法继续操作下去. (1) 作图说明,当 ? ? 45 时,操作几次赛车的位移为 0 . (2) 若按此操作赛车能回到出发点, ? 应满足什么条件,请写出其中两个. 解: (1)作图,如图 4,赛车位移路线构成一个正八边形. 赛车所行路程为 8 米,操作 8 次赛车的位移为 0 . (2)若按此法操作 n 次赛车能回到出发点,则操作 n 次赛 车的位 移为 0 ,赛车位移路线构成一个正 n 边形,由平面几何知识,
n? ? 360 (多边形外角和定理) ,? n ?

360

?

(n ≥ 3且n ? N? ) .

若 ? ? 60 ,则 n ? 6 ,即操作 6 次可回到起点. 若 ? ? 15 ,则 n ? 24 ,即操作 24 次可回到起点. 评注:本题是向量位移的应用,培养了同学们动手操作绘图能力,分析问题 及解决问题的能力.


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