北京市东城区2016届高三上学期期末教学统一检测数学(理科)(修改)


2015-2016 学年度东城高三上学期期末数学(理) 2016.1 第一部分(选择题
要求的一项. (1)已知集合 U ? {1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1,3, 4} , B ? {2, 4} ,那么集合 (CU A) I B ? (A) {2} (B) {4} (C) {1,3} (D) {2, 4}

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

答案:A

(2)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,那么该三棱锥的体积等于

3

3

3

1

正(主)视图 1 3
俯视图 (A) 答案:A

侧(左)视图

3 cm3 2

(B) 2 cm3

(C) 3 cm3

(D) 9 cm3

(3)设 i 为虚数单位,如果复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 5i ,那么 z 的虚部为 (A) ?1 (B) 1 (C) i (D) ?i

答案:B

(4)已知 m ? (0,1) ,令 a ? log m 2 , b ? m , c ? 2 ,那么 a, b, c 之间的大小关系为
2 m

(A) b ? c ? a 答案:C

(B) b ? a ? c

(C) a ? b ? c

(D) c ? a ? b

(5)已知直线 l 的倾斜角为 ? ,斜率为 k ,那么“ ? ? (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案:B

?
3

”是“ k ? 3 ”的

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?1 ? ? 1, 0 ? x ? 2 (6)已知函数 f ? x ? ? ? x ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根, ? ?ln x, x ? 2
那么实数 k 的取值范围是 (A) (1, ??) 答案:B (7)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,如果
2

(B) [ , ??)

3 2

(C) [e 2 , ??)

3

(D) [ln 2, ??)

BF ? 3 , BF ? AF , ?BFO ?
3 2

2? ,那么 AF 的值为 3
(C )
3
(D) 6

( A) 1
答案:A

(B)

(8)如图所示,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的棱长为 1, E , F 分别是棱 AA? , CC ? 的中点, 过直线 E , F 的平面分别与棱 BB? 、 DD ? 交于 M , N ,设 BM ? x , x ? (0,1) ,给出 以下四个命题: ① 四边形 MENF 为平行四边形; ② 若四边形 MENF 面积 s ? f ( x) , x ? (0,1) ,则 f ( x) 有最小
A' D' N B' F C'

E D M B C

A

值; ③ 若四棱锥 A ? MENF 的体积 V ? p( x) , x ? (0,1) ,则

p ( x) 常函数;
④ 若多面体 ABCD ? MENF 的体积 V ? h ? x ? , x ? ( ,1) , 则 h( x) 为单调函数. 其中假 命题 为 . ..

1 2

( A) ①
答案:D

(B) ②

(C ) ③

(D)④

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

0 a ? 4, C ? 1050 , a , b 分别为角 A, B 的对边, (9)在 ?ABC 中, 如果 B ? 30 , 那么 b ?

.

答案: 2 2

(10)在平面向量 a,b 中,已知 a ? (1,3) , b ? (2,y) .如果 a ? b ? 5 ,那么 y =

;如果

a + b ? a-b ,那么 y =
2 3

.

答案:

1 ; ?

? x +y ? 10 , ? (11)已知 x, y 满足满足约束条件 ? x ? y ? 2 , ,那么 z ? x 2 ? y 2 的最大值为___. ?x ? 3 ?
答案: 58

(12)如果函数 f ( x) ? x2 sin x ? a 的图象过点 ( π,1) 且 f (t ) ? 2 .那么 a ?



f (?t ) ?



答案: 1 ; 0

(13) 如果平面直角坐标系中的两点 A(a ? 1, a ? 1) ,B ( a , a ) 关于直线 l 对称, 那么直线 l 的 方程为__. 答案: x ? y ? 1 ? 0

(14)数列 {an } 满足: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 1, n ? N ) ,给出下述命题:
*

①若数列 {an } 满足: a2 ? a1 ,则 an ? an?1 (n ? 1, n ? N * ) 成立; ②存在常数 c ,使得 an ? c (n ? N * ) 成立;
* ③若 p ? q ? m ? n (其中 p, q, m, n ? N ) ,则 a p ? aq ? am ? an ;

④存在常数 d ,使得 an ? a1 ? (n ? 1)d (n ? N * ) 都成立. 上述命题正确的是____.(写出所有正确结论的序号) 答案:①④

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题共 13 分) 设 {an } 是一个公比为 q ( q ? 0, q ? 1) 等比数列,4a1 ,3a2 , 2a3 成等差数列,且它的前

4 项和 s4 ? 15 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? 2n,(n ? 1, 2,3......) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 答案: (Ⅰ) an ? 2n?1 . (Ⅱ)

?

n

i ?1 i

b ? ?i ?1 ai ? ?i ?1 2i ? 2n ? n(n ? 1) ? 1 .
n n

解析: (Ⅰ)因为 {an } 是一个公比为 q ( q ? 0, q ? 1) 等比数列, 所以 an ? a1q n?1 . 因为 4a1 ,3a2 ,2a3 成等差数列, 所以 6a2 ? 4a1 ? 2a3 , 即 q2 ? 3q ? 2 ? 0 . 解得 q ? 2, q ? 1 (舍). 又它的前 4 和 s4 ? 15 ,得 解得 a1 ? 1 .

a1 (1 ? q4 ) ? 15 ( q ? 0, q ? 1) , 1? q

所以 an ? 2n?1 . (Ⅱ)因为 bn ? an ? 2n , 所以

?

n

i ?1 i

b ? ?i ?1 ai ? ?i ?1 2i ? 2n ? n(n ? 1) ? 1 .
n n

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? x ? R ? . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和在 [0, π ] 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

3 ? 7π ) 的值. ,求 f ( ? 2 12 5

答案: (Ⅰ) f ? x ? 在 [0, π ] 上的单调递减区间 ? π, (Ⅱ) f (

?1 ?3

5 ? π 6 ? ?

?
2

?

7π π 7π 8 ? ) ? ?2sin ? ? . ) = 2sin(? ? 5 6 6 12

解析: (Ⅰ)由已知 f ( x) ? sin2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x

? 3 sin 2 x ? cos 2 x π ? 2sin(2 x ? ). 6
所以 最小正周期 T ? 由 得

2?

?

?

2? ?? . 2
2kπ, k ? z.

π + 2 kπ ? 2 x 2 2π + kπ # x 3

π 3π ? 6 2

10π + kπ, k ? z 6

故函数 f ? x ? 在 [0, π ] 上的单调递减区间 ? π, (Ⅱ)因为 ? 为第四象限角,且 cos ? ?

?1 ?3

5 ? π 6 ? ?

3 4 ,所以 sin ? ? ? . 5 5 7π π ? 7π 8 ? ) ? ?2sin ? ? . ) = 2sin(? ? 所以 f ( ? 5 6 6 2 12 P

E
(17) (本小题共 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,

D A B

C

PA ? 底面 ABCD , AB ? AP , E 为棱 PD 的中点.
(Ⅰ)证明: AE ? CD ; (Ⅱ)求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若 F 为 AB 中点,棱 PC 上是否存在一点 M ,使得 FM ? AC ,若存在, 求出 答案:

PM 的值,若不存在,说明理由. MC

(Ⅰ)证明略. (Ⅱ)直线 EF 与平面 PBD 所成角的正弦值为 6 .
3

(Ⅲ)

PM 1 ? . MC 3

解析: (Ⅰ)证明:因为 PA 底面 ABCD , 所以 PA ? CD . 因为 AD ? CD , 所以 CD ? 面 PAD . 由于 AE ? 面 PAD , 所以有 CD ? AE .

z P E

(Ⅱ)解:依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图) , 不妨设 AB ? AP ? 2 ,可得 B(2, 0, 0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) ,

D A

y x

C B

P(0, 0, 2) .
由 E 为棱 PD 的中点,得 E (0,1,1) . AE ? ? 0,1,1? , 向量 BD ? (?2,2,0) , PB ? (2,0, ?2) .
?n ? BD ? 0 即 ??2 x ? 2 y ? 0 . 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PBD 的法向量,则 ? ? r uur ? ?n ? PB ? 0

??? ?

uuu r

uur

r

r uuu r

? ?2 x ? 2 z ? 0

r 不妨令 y ? 1 ,可得 n ? (1,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.

所以 cos AE , EF ?

uuu r uuu r

6 . 3
3

所以,直线 EF 与平面 PBD 所成角的正弦值为 6 . (Ⅲ)解:向量 CP ? (?2, ?2,2) , AC ? (2,2,0) , AB ? (2,0,0) . 由点 M 在棱 PC 上,设 CM ? ?CP , (0 ? ? ? 1) .

uur

uuu r

uu u r

uuu r

uur

故 FM ? FC ? CM ? (1 ? 2?,2 ? 2?,2? ) . 由 FM
uuu r uuu r ? AC ,得 FM ? AC ? 0 ,

uuu r

uuu r uuu r

因此, (1- 2? ) ? 2 ? (2 - 2? ) ? 2 ? 0 ,解得 ? ? 所以

3 . 4

PM 1 ? . MC 3

(18) (本小题共 13 分) 已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的焦点是 F1 , F2 ,且 F1F2 ? 2 ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点,求 | AF2 |g | F2 B | 的取值范 围.

答案: (Ⅰ)椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) | AF2 |g | F2 B | 的取值范围

?9 ? ,3 . ? ?4 ? ?

解析: (Ⅰ)因为椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?c 1 由题意知 ? ? , 解得 a ? 2, b ? 3 . ?a 2 ? ? 2c ? 2
所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)因为 F2 (1, 0) ,当直线 l 的斜率不存在时, A(1, ) , B (1 , ? ) ,

3 2

3 2

| F2 B |? 则 | AF2 |g

9 ,不符合题意. 4

当直线 l 的斜率存在时,直线 l 的方程可设为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4

消 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 (*) .

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 x1 、 x2 是方程(*)的两个根,

8k 2 4k 2 ? 12 所以 x2 ? x2 ? , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
所以 | AF2 |? 所以 | F2 B |?

( x1 ? 1)2 ? y12 ? 1 ? k 2 x1 ? 1 ,
( x2 ? 1)2 ? y2 2 ? 1 ? k 2 x2 ? 1

所以 | AF2 |g | F2 B |? (1 ? k 2 ) x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

? (1 ? k 2 )
? (1 ? k 2 )
? (1 ? k 2 )

4k 2 ? 12 8k 2 ? ?1 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
9 3 ? 4k 2

9 3 ? 4k 2 9 1 ? (1 ? ). 4 3 ? 4k 2
当 k ? 0 时, | AF2 |g | F2 B | 取最大值为 3 ,
2

所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围 ? ,3 . 又当 k 不存在,即 AB ? x 轴时, | AF2 |g | F2 B | 取值为 所以 | AF2 |g | F2 B | 的取值范围

?9 ?4

? ? ?

9 . 4

?9 ? ,3 . ? ?4 ? ?

(19) (本小题共 14 分)

已知函数 f ( x) ?

ex ? a( x ? ln x) . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,试求 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,试求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,试求 a 的取值范围.

答案:
(Ⅰ) y ? e ? 1 . (Ⅱ)单调增区间为 (1, ??) ,单调减区间为 (0,1) . (Ⅲ) a 的取值范围为 (e, ??) .

解析:
/ (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ?

e x ( x ? 1) 1 ? 1 ? , f / (1) ? 0 , f (1) ? e ? 1 . 2 x x

方程为 y ? e ? 1 .
(Ⅱ) f ?( x ) ?

e x ( x ? 1) 1 e x ( x ? 1) ? ax( x ? 1) ? a (1 ? ) ? , x2 x x2
1 ) .

?

x ( e ? a x )? x ( 2 x

当 a ? 0 时,对于 ?x ? (0, ??) , e x ? ax ? 0 恒成立,
所以

f ' ( x) ? 0 ? x ? 1 ;

f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 0.

所以 单调增区间为 (1, ??) ,单调减区间为 (0,1) . (Ⅲ)若 f ( x ) 在 (0,1) 内有极值,则 f ' ( x) 在 x ? (0,1) 内有解.

令 f ' ( x) ? 设 g ( x) ?

(e x ? ax )( x ? 1) ex x ? 0 e ? ax ? 0 ? ? . a ? x2 x
x?( 0 , 1 , )

ex x

所以 g ' ( x ) ?

e x ( x ? 1) , 当 x ? (0,1) 时, g ' ( x) ? 0 恒成立, x

所以 g ( x) 单调递减. 又因为 g (1) ? e ,又当 x ? 0 时, g ( x) ? ?? , 即 g ( x) 在 x ? (0,1) 上的值域为 (e, ??) ,
所以

当 a ? e 时, f ' ( x ) ?

(e x ? ax )( x ? 1) ? 0 有解. x2

设 H ( x) ? e x ? ax ,则 H ?( x) ? e x ? a ? 0 x ? (0,1) , 所以 H ( x ) 在 x ? (0,1) 单调递减. 因为 H (0) ? 1 ? 0 , H (1) ? e ? a ? 0 , 所以 H ( x) ? e x ? ax 在 x ? (0,1) 有唯一解 x0 .

所以有:

x
H ( x)

(0, x0 )

x0
0 0 极小值

( x0 ,1)
?

?
?

f ' ( x)
f ( x)

?
Z

]

所以 当 a ? e 时, f ( x ) 在 (0,1) 内有极值且唯一.

当 a ? e 时,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, f ( x) 单调递增,不成立. 综上, a 的取值范围为 (e, ??) .

(20) (本小题共 13 分)
* 已知曲线 Cn 的方程为: x ? y ? 1 (n ? N ) . n n

(Ⅰ)分别求出 n ? 1, n ? 2 时,曲线 Cn 所围成的图形的面积; (Ⅱ)若 Sn (n ? N ? ) 表示曲线 Cn 所围成的图形的面积,求证:Sn (n ? N ? ) 关于 n 是递 增的;

(III) 若 方程 xn ? y n ? z n (n ? 2, n ? N ) , xyz ? 0 ,没有正整数解, 求证:曲线

Cn ( n ? 2, n? N? )上任一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 不能全是有理数.
答案: (Ⅰ) C1 ? 4 ? (Ⅱ)证明略.

1 ? 1? 1 ? 2 , C2 ? π . 2

(III)证明略.

解析:(Ⅰ)当 n ? 1, 2 时,

由图可知 C1 ? 4 ?

1 ? 1? 1 ? 2 , C2 ? π . 2

(Ⅱ)要证 Sn (n ? N ? ) 是关于 n 递增的,只需证明: Sn ? Sn?1 (n ? N ? ) . 由于曲线 Cn 具有对称性,只需证明曲线 Cn 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递

增. 现在考虑曲线 Cn 与 Cn?1 , 因为 因为

x ? y ? 1(n ? N ? ) L L (1) x
n ?1

n

n

? y

n ?1

? 1(n ? N ? ) L L (2)

在(1)和(2)中令 x ? x0 , x0 ? (0,1) , 当 x0 ? (0,1) ,存在 y1 , y2 ? (0,1) 使得 x0n ? y1n ? 1 , x0n?1 ? y2n?1 ? 1成立, 此时必有 y2 ? y1 . 因为当 x0 ? (0,1) 时 x0n ? x0n?1 , 所以 y2n?1 ? y1n . 两边同时开 n 次方有, y2 ? y2 这就得到了 y2 ? y1 , 从而 Sn (n ? N ? ) 是关于 n 递增的.
n ?1 n

(指数函数单调性) ? y1 .

x y (III)由于 xn ? y n ? z n (n ? 2, n ? N ) 可等价转化为 ( ) n ? ( ) n ? 1 , z z
反证:若曲线 Cn (n ? 2, n ? N * ) 上存在一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 全是有理数, 不妨设 x ?
n

q t , y ? , p, q, s, t ? N * ,且 p, q 互质, s , t 互质. p s
n

则由 x ? y ? 1 可得,

q t ? ? 1. p s
即 qs ? pt
n n

n

n

? ps .
n n n *

n

这时 qs, pt , ps 就是 x ? y ? z (n ? 2, n ? N ) 的一组解,
n n n * 这与方程 x ? y ? z (n ? 2, n ? N ) , xyz ? 0 ,没有正整数解矛盾,

所以曲线 Cn (n ? 2, n ? N * ) 上任一点对应的坐标 ( x, y ) , x, y 不能全是有理数.


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