成才之路·北师大版数学必修1-3.4_图文


成才之路· 数学
北师大版 · 必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
第三章 指数函数和对数函数

第三章

指数函数和对数函数

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第三章
§4 对 数

第三章

指数函数和对数函数

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课前自主预习

易错疑难辨析

课堂典例讲练

课后强化作业

第三章 第一章 § § 41

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课前自主预习

第三章 第一章 § § 41

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情境引入导学 “对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的,意思是 “比数”.他最早用“人造的数”来表示对数. 俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者,传说有一次他 在解答一道数学题时,冥思苦想没法解决,睡觉时做了一个 梦,梦中一位老人提示他解答的方法,醒后他真的把此题解出 来了,莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来,大家一看竟是数学

家纳皮尔,这个传说告诉我们:纳皮尔在人们心目中的地位是
多么地高!那么,“对数”到底是什么呢?学完本节内容就明 白了!
第三章 第一章 § § 41

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知能自主梳理 1.对数的有关概念 (1)一般地,如果ab=N(a>0,且a≠1),那么数b叫作 以a为底N的对数 ,记作________ logaN= b ________________ ,其中 a叫作对数的 ________ 底数 ,N叫作________ 真数 . (2)以10为底的对数叫作___________ 常用对数 ,N的常用对数记作 lgN . ________

(3)以e为底的对数叫作_________ ,N的自然对数记作 自然对数
________ lnN .

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2.对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

logaM+logaN; (1)loga(MN)=____________
M logaM-logaN ; (2)loga N =_____________

n· logaM (3)logaMn=___________( n∈R).
3.换底公式 logaN logbN=________( a、b>0,a、b≠1,N>0). logab

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预习效果展示
1.下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( A.100=1 与 lg1=0 1 1 1 B.27 =3与 log273=-3
-1
3

)

C.log39=2 与 9 =3 D.log55=1 与 51=5

1 2

[答案] C
[解析] 把对数式 log39=2 化为指数式应为 32=9, 故 C 错.
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2.下列等式成立的有( 1 ①lg100=-2 ④elne=1 A.①②③ C.①②③④⑤

) ③2log25=5

3 ②log33 3=2 ⑥5ln5=5

⑤3lg3=3

B.①②③④ D.①②③④⑤⑥

[答案] A
[解析] 数不相等. ④中 elne =e,⑤⑥中指数式的底数和对数式的底

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3.下列等式不成立的是( ln4 A.log34=ln3 1 C.log34=log 3 4

) lg4 B.log34=lg3 log14 D.log34=log 3 1

[答案] D
[解析] 结合换底公式的特征可知选项 D 不正确,因为底 数必须满足大于 0 且不等于 1.

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4.(2014·陕西理,11)已知4a=2,lgx=a,则x=______.
[答案]
[解析]

10
1 ∵4 =2,∴a=2.
a

1 又∵lgx=a,∴lgx=2,∴x= 10.

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5.log89·log32=________.
2 3 lg9 lg2 2lg3 lg2 2 原式=lg8· lg3=3lg2· lg3=3.

[答案] [解析]

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课堂典例讲练

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对数式与指数式的互化
将下列指数式与对数式进行互化. 1 (1)3 =81;
x
-1
2

?1?x (2)?4? =16; ? ?

1 (3)25 =5; (4)log 24=4; (5)log100.001=-3; (6)log
2-1(

2+1)=-1.

[思路分析] 由对数的定义知 ab=N?b=logaN.

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1 [规范解答] (1)log381=x.(2) log1 16=x. 4 1 1 (3)log255=-2.(4)( 2)4=4. (5)10-3=0.001.(6)( 2-1)-1= 2+1.

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[规律总结]
下表:

对数式与指数式的关系及相应各数的名称如

式子 指数式 对数式 ab=N logaN=b

a
底数 底数

名称 b 指数 对数

N
幂值 真数

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将下列指数式与对数式进行互化. (1)5
4

?1?-2 =625;(2)?4? =16; ? ?

1 (3)lnx=2;(4)lga=5.
[解析] (1)因为 54=625,所以 log5625=4.
?1?-2 (2)因为?4? =16,所以log1 16=-2. ? ? 4

1 (3)因为 lnx=2,所以 e =x.
1 2

(4)因为 lga=5,所以 105=a.
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利用对数的性质化简求值
7 (1)log535-2log53+log57-log51.8; (2)2(lg 2)2+lg 2· lg5+ ?lg 2?2-lg2+1; (3)(lg5)2+lg2· lg50.

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[思路分析]

(1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数

运算分别转化为对数的加、减、乘的运算;(2)对于含有对数 式的多项式运算问题:①可以将式中真数的积、商、幂、方根 运用运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值;②可以

将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根,然
后化简求值.

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[规范解答] 9 -log55

(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55 =2log55=2. (2)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+ ?lg 2-1?2 =lg 2(lg2+lg5)+1-lg 2 =lg 2+1-lg 2=1. (3)原式=(lg5)2+lg2· (lg2+2lg5) =(lg5)2+2lg5· lg2+(lg2)2=1.
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[规律总结]

(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个

对数式都有意义,应避免出现lg(-5)2=2lg(-5)等形式的错 误,同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用.譬如在常用 对数中,lg2=1-lg5,lg5=1-lg2的运用. (2)对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是:

①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数;
②“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

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(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行 处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便 于真数化简的原则进行.

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计算:(1)(lg5)2+lg2· lg5+lg2; 1 (2)lg5(lg8+lg1000)+(lg2 ) +lg0.06+lg6. [ 解析 ] (1) 原式= lg5(lg5 + lg2) + lg2 = lg5 + lg2 = lg10 =
3 2

1. 1 (2) 原式= lg5(3lg2 + 3) + ( 3lg2) + lg(0.06× 6 ) = 3(lg5· lg2
2

+ lg5) + 3(lg2)2 + lg0.01 = 3(lg5 + lg2)lg2 + 3lg5 + lg10 - 2 = 3(lg2 +lg5)+(-2)=3-2=1.
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换底公式的应用 已知log189=a,18b=5,求log3645的值.(用含 a,b的式子表示)

[思路分析 ]

(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的

对数化成同底数的对数,应用对数性质进行计算;(2)题目中有 指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化.

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[规范解答] 解法 1:因为 18b=5,所以 log185=b, log1845 log18?9×5? 所以 log3645=log 36= log18?18×2? 18 log189+log185 = = 1+log182 a+b 18=2-a. 1+log18 9 a+b

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解法 2:因为 log189=a,所以 18a=9.又因为 18b=5, 所以 45=5×9=18b· 18a=18a b.令 log3645=x,


则 36 =45=18

x

a+b

,即 36

x

?18 18?x =? 3 × 3 ? =18a+b, ? ?

?182?x 所以? 9 ? =18a+b,所以 ? ?

182 xlog18 9 =a+b,

a+b a+b 所以 x= = . log18182-log189 2-a

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[规律总结]

(1)用已知对数表示其他对数时,若它们的

底数不相同,常用换底公式来解决. (2)在一个等式的两边取对数,是一种常用的技巧.一般 地,给出的等式是以指数形式出现时,常用此法,值得一提的

是,在取对数时,要注意对底数的合理选取.

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2 1 设 3 =4 =36,求x+y的值.
x y

[解析] 解法 1:∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 1 1 1 ∴x=log 36=log 36=log363, 3 36 log363 1 1 1 y=log436=log3636=log364, log364 2 1 ∴x+y=2log363+log364=log36(9×4)=1.
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解法 2:对等式 3x=4y=36 各边都取以 6 为底的对数,得 log63x=log64y=log636, 即 xlog63=ylog64=2, 2 1 ∴x=log63,y=log62, 2 1 ∴x+y=log63+log62=log66=1, 2 1 即x+y=1.

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换底公式在实际问题中的应用 2013年我国国民生产总值为a亿元,如果平均每 年增长8%,那么经过多少年后的国民生产总值是2013年的2 倍.(lg2取0.3010,lg1.08取0.0334,精确到1年) [思路分析] 用方程的思想解决本题,设经过x年后变为

原来的2倍,列出x的方程,解出x.

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[规范解答]

设经过 x 年后的国民生产总值是 2013 年的 2

倍,经过 1 年,总产值为 a· (1+8%),经过 2 年,总产值为 a· (1 +8%)2,?,经过 x 年后,总产值为 a(1+8%)x=2a. ∴1.08x=2.取常用对数,得 lg1.08x=lg2. lg2 0.3010 则 x=lg1.08=0.0334≈9(年). 答:约经过 9 年后的国民生产总值是 2013 年的 2 倍.

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[规律总结]

求解对数实际应用题时,注意以下两点:一

是合理建立数学模型,寻找量与量之间的关系;二是利用对数 的运算性质以及两边取对数的方法计算求解.

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在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 v(m/s)和燃 料的质量 M(kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(kg)的关系是 v= M 2000ln(1+ m ).当燃料质量约是火箭质量的多少倍时,火箭的 最大速度可达到 10km/s(已知 e5≈148.4)?

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M [解析] 由题意可得 10000=2000ln(1+ m ), M 即 ln(1+ m )=5. M 5 M 所以 m =e -1,即 m ≈148.4-1=147.4. 故当燃料质量约是火箭质量的 147.4 倍时,火箭的最大速 度可达到 10km/s.

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易错疑难辨析

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解方程:log2(9x-5)=log2(3x-2)+2. [错解] 原方程化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],所以9x- 5=4(3x-2),即32x-4·3x+3=0,所以(3x-3)(3x-1)=0,解 得x=1或x=0.

[辨析]

本题错在将对数方程log2(9x-5)=log2[4(3x-2)]

化为代数方程9x-5=4(3x-2)时,没有注意对数式中真数大于 0这一条件,导致出现增根x=0.

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[正解] 原方程可化为 log2(9x-5)=log2[4(3x-2)], ① ?9x-5>0 ? x ② 于是?3 -2>0 ?9x-5=4· 3x-8 ③ ? 由③得 32x-4· 3x+3=0,即(3x-3)(3x-1)=0,解得 x=1, 或 x=0,将 x=1,与 x=0 分别代入①② 中检验,知 x=1 是 原方程的根,x=0 是增根.

[规律总结] 解对数方程时,特别应注意验根.

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