安徽省安庆一中、安师大附中、马鞍山二中2014届高三上学期12月联考数学理试题Word版含答案


三校 2014 届十二月联考

试题数学试卷(理科)

满分 150 分,考试时间为 120 分钟
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

(1)已知 a,b, c, d 为实数,且 c ? d . 则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的

( ).

(A)充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(C)充要条件

(D) 既不充分也不必要条件 w

(2)已知 f (x) ? x2 ? 2xf ?(1) ,则 f ?(1) 等于

(A)4

(B)-2

(C)0

(D)2

( ).

(3)一支田径队有男运动员56 人,女运动员42人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一

个容量为28的样本,则样本中男运动员的人数为

(A)16

(B)14

(C)12

( ). (D)10

(4)已知{an }是等差数列,若 a1 ? a9 ? 10, a4 ? 3 ,则数列{an }的公差等于

( ).

(A) ?1

(B)1

(C) 2

(D) 3

(5)已知 lg a ? lg b ? 0 ,则函数 f (x) ? ax 与函数 g(x) ? ? logb x 的图象可能是 ( ).

(6)动圆 M 过定点 A 且与定圆 O 相切,那么动圆 M 的圆心的轨迹是

( ).

(A)圆,或椭圆 (C)椭圆,或双曲线,或直线

(B)圆,或双曲线, (D)圆,或椭圆,或双曲线,或直线

?x ? y ?3? 0 (7)已知直线 y ? 2x 上存在点 (x, y) 满足约束条件 ??x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的取值范围
??x ? m



( ).

(A) (??, ?1] (B)[?1, ??) (C)[2, ??) (D) (??,1]

(8)如图,半径为 3 的扇形 AOB 的圆心角为120 ,点 C 在 ?AB

uuur uur uuur 上,且 ?COB ? 30 ,若 OC ? ?OA ? ?OB ,则 ? ? ? ? ( ).

(A) 3

(B) 3 3

(C) 4 3 3

(D) 2 3

(9)已知直线 3x ? y ? 2m ? 0 与圆 x2 ? y2 ? n2 相切,其中 m, n ? N * ,且 n ? m ? 5 ,则

满足条件的有序实数对 (m, n) 共有的个数为

( ).

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

(10)设 f ?x? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f (x) ? ex .若对任意的 x ?[a, a ?1] ,不

等式 f ? x ? a? ? f 2 ? x? 恒成立,则实数 a 的最大值是

( ).

(A) ? 3 2

(B) ? 2 3

(C) ? 3 4

(D) 2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

(11)已知一元二次不等式 f (x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1,或x ? 1} , 2

则不等式 f (lg x) ? 0 的解集为

.

(12)如图,直角VPOB 中, ?PBO ? 90? ,以 O 为圆心、 OB 为

半径作圆弧交 OP 于 A 点.若圆弧 ?AB 等分VPOB 的面积,

且 ?AOB ? ? 弧度,则 tan? =

.

?

(13)在 ?ABC 中, sin2 A ? sin2 B ? sin2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是________.

( 14 ) 设 [x],[ y] 分 别 表 示 不 大 于 x, y 的 最 大 整 数 , 如 [1.3] ? 1,[?0.3] ? ?1 . 则 集 合

S ? {(x, y) | [x]2 ? [ y]2 ? 1} 表示的平面区域的面积为

.

(15)对于平面直角坐标系内任意两点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,定义它们之间的一种“折线距

离”: d ( A, B) ?| x2 ? x1 | ? | y2 ? y1 | .则下列命题正确的是

.(写出所有正

确命题的序号)

①若 A?-1,3? , B ?1,0? ,则 d ( A, B) ? 5 ;

②若点 C 在线段 AB 上,则 d ( A,C) ? d (C, B) ? d ( A, B) ;

③在 ?ABC 中,一定有 d ( A,C) ? d (C, B) ? d ( A, B) ;

④若 A 为定点, B 为动点,且满足 d ( A, B) ? 1 ,则 B 点的轨迹是一个圆;

⑤若 A 为坐标原点, B 在直线 2x ? y ? 2 5 ? 0 上,则 d ( A, B) 最小值为 5 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答

写在答题卡上的指定区域内.

(16)(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? cos2 (x ? ? ) ?1, g(x) ? 1 sin 2x .

12

2

(Ⅰ)设 x ? x0 是函数 y ? f (x) 图象的一条对称轴,求 g(x0 ) 的值;

(Ⅱ)求函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 的值域.

(17)(本小题满分 12 分) 前不久,省社科院发布了 2013 年度“安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最 “幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10 分制”随机调查“阳光”社区人们 的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小 数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数; (Ⅱ)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度 为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多 有 1 人是“极幸福”的概率; (Ⅲ)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,
记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求? 的分布列及数学期望.

(18)(本小题满分 12 分)
已知 a, b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) .

(Ⅰ)求证: a2 ? b2 ? (a ? b)2 ,并指出等号成立的条件; x y x?y

(Ⅱ)求函数 f (x) ? 2 ? 1 , x ? (0, 1) 的最小值,并指出此时 x 的值.

x 1? 2x

2

(19)(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C : x 2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? b ? 0 ),直线 x ?

3y ?

3 ? 0 经过椭圆 C 的上顶点 B 和左

焦点 F ,设椭圆右焦点为 F ? .

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 C 上动点,求 | 4 ? (| PF? | ? | PB |) | 的取值范围,并求取最小值时

点 P 的坐标.

(20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f (x) ? 2x2 ? a ln x . (Ⅰ)若 a ? 4 ,求函数 f (x) 的极小值;
(Ⅱ)试问:对某个实数 m ,方程 f (x) ? m ? cos 2x 在 x ? (0, ??) 上是否存在三个不相等的
实根?若存在,请求出实数 a 的范围;若不存在,请说明理由.

(21)(本小题满分 14 分)

设 n ? N* ,圆 Cn : x2 ? y2 ? Rn2 (Rn ? 0) 与 y 轴正半轴的交点为 M ,与曲线 y ? x 的交点



N

(

1 n

,

yn

)

,直线

MN



x

轴的交点为

A(an

,

0)

.

(Ⅰ)用 n 表示 Rn 和 an ;

(Ⅱ)求证: an ? an?1 ? 2 ;

? ? (Ⅲ)设 Sn

?

n i ?1

ai

, Tn

?

n 1 ,求证: 7

i?1 i

5

?

Sn ? 2n Tn

?

3. 2

理科数学参考答案

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 B

B

A

C

B

D

D

A

D

C

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

11. {x | 1 ? x ? 10}; 12. 2 ; 13. (0, ? ] ; 14. 5; 15. ①②⑤.

10

3

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的

指定区域内.

(16)(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)由题知

f

(x)

?

1 2

cos(2x

?

? 6

)

?

1 2

,因为

x

?

x0

是函数

y

?

f (x) 图象的一条对称轴,

所以 2x0

?

? 6

?

k? (k

? Z ) ,即 2x0

?

k?

?

? 6

(k ? Z) ,

……………………3 分



g(x0 )

?

1 2

sin

2 x0

?

1 sin(k? 2

?

? ) ,当 6

k

为偶数时,

g(x0 )

?

1 2

sin(?

? 6

)

?

?

1 4





k

为奇数时,

g(x0 )

?

1 sin ? 26

?

1 4



(Ⅱ)由题知 h(x) ? f (x) ? g(x) ? 1 cos(2x ? ? ) ? 1 ? 1 sin 2x

2

6 22

……………………6 分

? 1 [cos(2x ? ? ) ? sin 2x] ? 1 ? 1 ( 3 cos 2x ? 1 sin 2x) ? 1 ? 1 sin(2x ? ? ) ? 1 ,……………10 分

2

6

2 22

2

22

32

所以 h(x) 的值域为[?1, 0].

……………………12 分

(17)(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)众数:8.6;中位数:8.75 ;

……………………3 分

( Ⅱ ) 设 Ai 表 示 所 取 3 人 中 有 i 个 人 是 “ 极 幸 福 ”, 至 多 有 1 人 是 “ 极 幸 福 ” 记 为 事 件 A , 则

P( A) ?

P( A0 ) ? P( A1 ) ?

C132 C136

?

C

C1 2
4 12

C136

? 121 140



ξ (Ⅲ) 的可能取值为0,1,2,3.高…考.资.源+网

P(?

? 0)

? (3)3 4

?

27 ; P(?
64

? 1)

?

C

1 3

1 (3)2 44

?

27 64



P(?

?

2)

?

C32

(

1 4

)

2

3 4

?

9 64

; P(?

?

3)

?

(1)3 4

?

1 64

.

ξ 的分布列为:

……………………7 分 高.考.资.源+网

ξ0

1 23

P

27 64

27

9

1

64 64 64

所以 E? ? 0? 27 ?1? 27 ? 2? 9 ? 3? 1 ? 0.75 .
64 64 64 64
ξ 另解: 的可能取值为0,1,2,3.高..考.资.,

……………………12分

则?

~

B(3, 1) , P(? 4

?

k)

?

C3k

(

1 4

)k

(

3 4

)3?k

.

所以 E? = 3 ? 1 ? 0.75 . 4

(18)(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)因为 a, b 是不相等的正常数,实数 x, y ? (0, ??) ,应用均值不等式,得:

a2 (

?

b2

)( x

?

y)

?

a2

?

b2

?

ya2

?

xb2

? a2 ? b2 ? 2

ya2 xb2 ?

xy

xy

xy

? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ,即有 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ,………………………………………5 分 x y x?y

当且仅当

ya2

?

xb2

a
,即

?

b

时上式取等号;

………………………………………………7 分

x y xy

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f (x) ? 22 ? 12 ? (2 ?1)2 ? 9 , 2x 1? 2x 2x ? (1? 2x)

……………………10 分

当且仅当

2 2x

?1 1? 2x

,即

x

?

1 3

时上式取最小值,即

f

( x)min

?

9.

(19)(本小题满分 12 分)

………………12 分

(Ⅰ)依题意, B(0 , 1) , F (? 3 , 0) , 所以 b ? 1, c ? 3 , a ? b2 ? c 2 ? 2 , …………3 分

所以椭圆的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1 4

……………………5 分

(Ⅱ)由椭圆定义知 | PF |? 4? | PF? | ,则| 4 ? (| PF? | ? | PB |) |?|| PF | ? | PB || , ………7 分

而 0 ?|| PF | ? | PB ||?| BF | ,当且仅当| PF |?| PB | 时,|| PF | ? | PB ||? 0 ,

当且仅当 P 是直线 BF 与椭圆 C 的交点时, || PF | ? | PB ||?| BF | =2,

所以 | 4 ? (| PF? | ? | PB |) | 的取值范围是[0 , 2] .

…………………………9 分

设 P(m , n) ,由| PF |?| PB | 得

3m ? n ? 1 ? 0

,

?m2

由? ?

4

? n2

?1

,

?? 3m ? n ? 1 ? 0

解得

?m ? 0

??n

?


?1

? ??m ?

?

?

83 13

???n

?

11 13

,所求 P(0 , ? 1) 和 P(? 8 3 , 11)
13 13

.

………………………12 分

(20)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)定义域为 (0, ??) ,由已知得 f ' (x) ? 4x ? 4 ? 4(x2 ?1) , ………………………2 分

x

x

则当 0 ? x ? 1时 f ' (x) ? 0 , f (x) 在 (0,1) 上是减函数,

当 x ? 1 时 f ' (x) ? 0 , f (x) 在 (1, ??) 上是增函数,

故函数 f (x) 的极小值为 f (1) ? 2 .

……………………………………………5 分

(Ⅱ)假设方程 f (x) ? m ? cos 2x 在 x ? (0, ??) 上存在三个不相等的实根,

设 F (x) ? 2x2 ? a ln x ? cos 2x ? m ,由于 F (x) 在 x ? (0, ??) 上图象连续不断,

则 F ' (x) ? 4x ? a ? 2 sin 2x(x ? 0) 有两个不同的零点. x

………………………8 分

即 a ? 4x2 ? 2x sin 2x(x ? 0) 有两个不同的解,设 G(x) ? 4x2 ? 2x sin 2x(x ? 0) ,

则 G' (x) ? 8x ? 2sin 2x ? 4x cos 2x ? 2(2x ? sin 2x) ? 4x(1? cos 2x) ,

设 h(x) ? 2x ? sin 2x ,则 h' (x) ? 2 ? 2 cos 2x ? 0 ,故 h(x) 在 (0, ??) 上单调递增,

则当 x ? 0 时 h(x) ? h(0) ? 0 ,即 2x ? sin 2x ,

…………………………………11 分

又1? cos 2x ? 0 ,则 G' (x) ? 0 故 G(x) 在 (0, ??) 上是增函数,

则 a ? 4x2 ? 2x sin 2x(x ? 0) 至多只有一个解,

故不存在. (21)(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)由点 N 在曲线 y ? x 上可得 N ( 1 , 1 ) , nn

又点在圆 Cn 上,则

Rn2

?

( 1 )2 n

?

1 n

?

n ?1 n2 , Rn

?

n ?1
,
n

………………………13 分 ……………………2 分

从而 MN 的方程为 x ? y ? 1,

1 由点 N ( ,

1 ) 在 MN 上得:

1?

1

?1,

an Rn

nn

nan n ? Rn

将 Rn ?

n ?1
代入化简得:
n

an

?1? 1 ? n

1? 1 . n

……………………5 分

(Ⅱ)

1? 1 ? 1, n

1?

1 n

? 1,??n ?

N *, an

?1?

1 n

?

1? 1 ? 2 n,

………………7 分



1? 1 ?1? 1 , n n?1

1? 1 ? n

1?

1 n ?1

,? an

?1?

1 n

?

1? 1 ?1? 1 ? n n?1

1?

1 n ?1

?

an?1



所以 an ? an?1 ? 2 ;

……………………9 分

(Ⅲ)先证:当 0 ? x ? 1时,1? ( 2 ?1)x ? 1? x ? 1? x . 2

不等式1? ( 2 ?1)x ? 1? x ? 1? x ? [1? ( 2 ?1)x]2 ? 1? x ? (1? x )2

2

2

? 1? 2( 2 ?1)x ? ( 2 ?1)2 x2 ? 1? x ? 1? x ? x2 ? (2 2 ? 3)x ? ( 2 ?1)2 x2 ? 0 ? x2

4

4

后一个不等式显然成立,而前一个不等式 ? x2 ? x ? 0 ? 0 ? x ? 1.

故当 0 ? x ? 1时, 不等式1? ( 2 ?1)x ? 1? x ? 1? x 成立. 2

?1? ( 2 ?1) 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ,

n

n 2n

……………………12 分

?2?

2

?

1 n

?

an

?1?

1 n

?

1? 1 ? 2 ? 3 (等号仅在 n ? 1 时成立) n 2n

求和得: 2n ?

2

? Tn

?

Sn

?

2n

?

3 2

? Tn

? 7 ? 2 ? Sn ? 2n ? 3 .

5

Tn

2

……………………14 分


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