江苏省响水中学高中数学第二章《第6课时函数的奇偶性》导学案苏教版必修1


第 6 课时 函数的奇偶性 1.理解函数的奇偶性及其几何意义,会判断函数的奇偶性. 2.了解奇、偶函数图象的对称性. 美丽的蝴蝶,盛开的花朵 ,富有创意的图标等都蕴含了对称的美 ,这种“对称美”在数学中也有 大量的反映. 问题 1:观察上面的两个图片,说明它们各具备怎样的对称性? 第一个图片可看作一个轴对称图形,第二个图片可看作一个中心对称图形. 问题 2:(1)奇函数、偶函数是如何定义的? (2)具有奇偶性的函数的图象具有哪些特征? (1)偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么 f(x)就叫作偶 函数. 奇函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 ,那么 f(x)就叫作奇函 数. (2)偶函数的图象关于 对称,奇函数的图象关于 对称. 问题 3:奇、偶函数的定义域有什么特点?奇函数若在 x=0 处有定义,能得出什么结论? 函数 的奇偶性是函数的整体性质 .由函数奇偶性的定义可知 ,函数具有奇偶性的一个必备条 件是对于定义域内的任意一个 x, 则 -x 也一定是定义域内的一个自变量 ( 即定义域关于 对称). 若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有 定义,则必有 f(0)= ,即函数图象必过 . 问题 4:奇偶性与单调性有什么联系? (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性. (2)偶函数在关于原点对称的区间上具有 的单调性. 1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是 . 2.下列函数是偶函数的是 . 1 ①y =x; ②y=2x2-3; ④y= x ,x∈[0 ,1]. 2 ③y= ; 3.函数 y=-|x|是 函数. 4.判断下列函数的奇偶性: y ? x4 ? (1) 1 x2 ; (2)f(x)=|x-2|-|x+2|. 函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x+ ; (2)f(x)=2-|x|; (3)f(x)= + ; (4)f(x)= . 利用奇偶性求值或求范围 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0, 则使得 f(x)<0 的 x 的取值 范围是 . 利用奇偶性求解析式 已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求当 x<0 时,f(x)的解析式. (1)判断下列函数的奇偶性. ①f(x)=x2, x∈[-1,2]; 2 ②f(x)= · ; ③f(x)= ④f(x)= · ; . (2)画出函数 f(x)= 的图象,通过图象判断函数的奇偶性. (1)若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为 (2)已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)= . . 已知函数 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当 x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当 x∈(0,+∞)时,f(x)的 解析式为 . 1.函数 f(x)=x(-1<x≤1 )的是 函数(填奇偶性). 2.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),f(x)与 f(-x)应满足 3.定义在(-1,1)上的奇函数 f(x)= ,则常数 m= ,n= . . 4.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-2x+3,求 f(x). (2013 年· 山东卷)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)等于( A.-2 B.0 考题变式(我来改编): C.1 D.2 ). 3 第 6 课时 函数的奇偶性 知识体系梳理 问题 2:(1)f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) (2)y 轴 原点 问题 3:原点 0 原点 问题 4:(1)相同 (2)相反 基础学习交流 1.② 先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原点或 y 轴对称,只有②中的图象 符合. 2.② ①中是奇函数;②中是偶函数;③④中的定义域不关于原点对称,故为非奇非偶函数. 3.偶 ∵f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x),∴函数 y=-|x|为偶函数. 4. 解 :(1) ∵ 函 数 的 定 义 域 为 {x|x≠0}, 关 于 原 点 对 称 , 设 y=f(x)=x4+ , 又 f(-x)=(-x)4+ =x4+ =f(x),∴函数为偶函数. (2)设 y=f(x)=|x-2|-|x+2|, ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x),∴函数为奇函数. 重点难点探究 探究一:【解析】(1)∵函数 f(x)的定义域是{x|x≠0},关于原点对称, 又∵f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (2)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且 f(x)=0, 又∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. 【小结】判断函数奇偶性的步骤: (1)考虑定义域是否关于原点对称,如果不是,那么它一定不具 有奇偶性. (2)考虑 f(-x)与 f(x)的关系,若 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;若 f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;若 f(-x) 4 既等于 f(x),又等于-f(x),则函数既是奇函数又是偶函数;若 f(-x)既不等于 f(x),又不等于-f(x),则 函数既不是奇函数,也不是偶函数. 探究二: 【解析】由题意知,函数 f(x)的大致图象如图所示 ,易知 f(x)<0 的 x 的取值范围为-2<x<2.

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