数列通项公式的方法


1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

a 2.公式法: 已知 S n(即 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? f ( n ) ) a n , 求 用作差法: n ? 1 。 S n ? S n ? 1 , ( n ? 2)

?S , ( n ? 1)

例 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 a n ? ( ? 1) , n ? 1 .求数列 ?a n ? 的通
n

项公式。 解:由 a1 ? S 1 ? 2 a1 ? 1 ? a1 ? 1
n a ? S n ? S n ?1 ? 2 ( a n ? a n ?1 ) ? 2 ? ( ? 1) , 当 n ? 2 时,有 n

? a n ? 2 a n ?1 ? 2 ? ( ? 1)
n ?1 n ?1

n ?1

,

a n ?1 ? 2 a n ? 2 ? 2 ? ( ? 1) ? a n ? 2 a1 ? 2 ? ( ? 1) ? 2
n ?1 n ?1

n?2

,

……, a 2 ? 2 a 1 ? 2 .
2 n ?1

n?2

? ( ? 1) ? ? ? 2 ? ( ? 1)
n?2

?2 ?2 2

? ( ? 1) [( ? 2 )
n

? (?2)
n ?1

? ? ? ( ? 2 )]

n ?1

? ( ? 1)
n?2

n

2[1 ? ( ? 2 ) 3
n ?1

]

? [2 3

? ( ? 1)

].
2 3 [2
n?2

经验证 a 1 ? 1 也满足上式,所以 a n ?

? ( ? 1)

n ?1

]

? S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 点评:利用公式 a n ? ? 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若 ? S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 能合写时一定要合并.

例 2 已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 2 , a1 ? 2 ,求数列 { a n } 的通项公式。
n

a a a 3 3 ? ,则 n ?1 ? n ? ,故数列 { n } 是 n ?1 n n 2 2 2 2 2 2 2 a 3 a 2 3 以 1 ? ? 1 为首项, 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, n ? 1 ? ( n ? 1) , 得 n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 。 2 2

解:a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 2 两边除以 2
n

n ?1

,得

a n ?1

n ?1

?

an

n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 2 转化为
n

,说明数列 2 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? ( n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2
2
n ?1 n

a n ?1

?

an

?

3

{ a n } 的通项公式。

3.累加法:
若 a n ?1 ? a n ? f ( n ) 求 a n : a n ? ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a 2 ? a1 ) ? a1 ( n ? 2) 。 例 3. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?
1 2

, a n ?1 ? a n ?
1 n ?n
2

1 n ?n
2

,求 a n 。
? 1 n ? 1 n ?1

解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

?

1 n ( n ? 1)

分 别 令 n ? 1, 2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) , 代 入 上式 得 ( n ? 1) 个 等 式 累 加之 , 即
( a 2 ? a1 ) ? ( a 3 ? a 2 ) ? ( a 4 ? a 3 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ( a n ? a n ?1 )
1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ?????? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a 1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a 1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n a n ?1 a a a ? f ( n ) 求 a n ,用累乘法: a n ? n ? n ? 1 ? ? ? 2 ? a1 ( n ? 2) 。 4.累乘法:已知 an a n ?1 a n ? 2 a1 ? (1 ? )?( 1 1

例 4. 已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 解:由条件知
a n ?1 an ?

2 3

, a n ?1 ?
n

n n ?1

a n ,求 a n 。

n ?1

,分别令 n ? 1, 2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) ,代入上式得

( n ? 1) 个等式累乘之,即
a2 a1 ? a3 a2 ? a4 a3
2 3

? ???????

an a n ?1
2 3n

?

1 2

?

2 3

?

3 4

? ???????

n ?1 n

?

an a1

?

1 n

又? a 1 ? 5、待定系数法

,? a n ?

1)形如 a n ? ka n ?1 ? b 、 a n ? ka n ?1 ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转
n

化为公比为 k 的等比数列后,再求 a n 。

① a n ? ka n ?1 ? b 解 法 : 把 原 递 推 公 式 转 化 为 : a n ?1 ? t ? p ( a n ? t ) , 其 中
t? q 1? p

,再利用换元法转化为等比数列求解。

例 5. 已知数列 ?a n ? 中, a 1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ? 3 ,求 a n . 解 : 设 递 推 公 式 a n ?1 ? 2 a n ? 3 可 以 转 化 为 a n ?1 ? t ? 2 ( a n ? t ) 即
a n ? 1 ? 2 a n ? t ? t ? ? 3 . 故 递 推 公 式 为 a n ?1 ? 3 ? 2 ( a n ? 3 ) , 令 b n ? a n ? 3 ,则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
b n ?1 bn ? a n ?1 ? 3 an ? 3 ?2

所以 ?b n ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 b n ? 4 ? 2

n ?1

?2

n ?1

,所以

an ? 2

n ?1

? 3.

② a n ? ka n ?1 ? b n 解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公
式两边同除以 q
n ?1

,得:

a n ?1 q
n ?1

?

p q

?

an q
n

?

1 q

引入辅助数列 ?b n ? (其中 b n ?

an q
n

) ,

得: b n ?1 ?

p q

bn ?

1 q

再应用 a n ? ka n ?1 ? b 的方法解决.。

例 6 已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 5 , a1 ? 6 ,求数列 ? a n ? 的通项公式。
n

解:设 a n ?1 ? x ? 5

n ?1

? 2( a n ? x ? 5 )
n


n? 1

将 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 5 代入④式,得 2 a n ? 3 ? 5 ? x ? 5
n n

? 2a n ? 2 ? 5 ,等式两边消去 x
n

2 an , 得 3 ? 5 ? x ? 5
n

n?1

? 2 ? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 x ? ? 1, 入 ④ 式 得 x , 代
n n

a n ?1 ? 5

n ?1

? 2( a n ? 5 )
n


n ?1 n

由 a1 ? 5 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 a n ? 5 ? 0 ,则
1 n

a n ?1 ? 5 an ? 5
n

? 2 ,则数列 { a n ? 5 } 是以
n

a1 ? 5 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 ? 2
1 n

n ?1

,故 a n ? 2

n ?1

?5 。
n

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2 a n ? 3 ? 5 转化为 a n ?1 ? 5
n n

n ?1

? 2( a n ? 5 ) ,
n

从而可知数列 { a n ? 5 } 是等比数列,进而求出数列 { a n ? 5 } 的通项公式,最后再求出数列 对数变换法 迭代法 数学归纳法 换元法


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