北师大版高中数学(选修1-1)《第四章导数应用综合小结》word教案


第四章 导数应用 4.1.1 函数的单调性与导数(一) 一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方 法. 二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 (一)复习引入 1.增函数、减函数的定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I:如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自 变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是增函数. 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数. 2.函数的单调性 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间 具有(严格的)单调性,这一区间叫做 y=f(x) 的单调区间. 在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. (-∞,2) (2,+∞) 2 例 1 讨论函数 y=x -4x+3 的单调性. y=f(x) 减函数 增函数 解:取 x1<x2,x1、x2∈R, 取值 f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3) 作差 切线 负 正 斜率 =(x1-x2)(x1+x2-4) 变形 当 x1<x2<2 时,x1+x2-4<0,f(x1)>f(x2), 定号 f '(x) <0 >0 ∴y=f(x)在(-?, 2)单调递减. 判断 当 2<x1<x2 时, x1+x2-4>0,f(x1)<f(x2), ∴y=f(x)在(2, +∞)单调递增. 综上所述 y=f(x)在(-?, 2)单调递减, y=f(x)在(2, +∞)单调递增。 y 能否利用导数的符号来判断函数单调性? y 2 O -2 2 x 4 3 2 1 O 1 2 3 一般地,设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f(x)'>0,则 f(x)为增函数; 如果 f(x)'<0,则 f(x)为减函数. 例 2.教材 P24 面的例 1。 2 例 3.确定函数 f(x)=x -2x+4 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数. 解: f(x)'=2x-2. 令 2x-2>0,解得 x>1. y 因此,当 x∈(1, +∞)时,f(x)是增函数. 6 令 2x-2<0,解得 x<1. 因此,当 x∈(-∞, 1)时,f(x)是减函数. 4 3 2 例 4. 确定函数 f(x)=2x -6x +7 在哪个区间内是增函数, 哪个区间内是减函 数. 2 2 解:f(x)'=6x -12x. x 2 x O 令 6x -12x>0,解得 x<0 或 x>2. 因此,当 x∈(-∞, 0)时,函数 f(x)是增函数, 当 x∈(2, +∞)时, f(x)也是增函数. 2 令 6x -12x<0,解得 0<x<2. 因此,当 x∈(0, 2)时,f(x)是减函数. 利用导数确定函数的单调性的步骤: (1) 确定函数 f(x)的定义域; (2) 求出函数的导数; (3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递 减区间. 练习 1:教材的例 2 利用导数的符号来判断函数单调性: 设函数 y=f(x)在某个区间内可导 (1)如果 f '(x)>0 ,则 f(x)为严格增函数; (2)如果 f '(x)<0 ,则 f(x)为严格减函数. 思考: (1)若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的什么条件? 若 f '(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件. 3 3 例如 f(x)=x ,当 x=0,f '(x)=0,x≠0 时,f '(x)>0,函数 f(x)=x 在(-∞, +∞)上是增函数. (2)若 f '(x) =0 在某个区间内恒成立,f(x)是什么函数 ? 若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为常数函数. 教科书练习(1) (三)课堂小结 1.判断函数的单调性的方法; 2.导数与单调性的关系; 3.证明单调性的方法. (四) 《习案》作业七 2 4.1.1 函数的单调性与导数(二) 一、教学目标:了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方 法. 二、教学重点:利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性. 教学难点:判断复合函数的单调区间及应用;利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程 (一)复习 1.确定下列函数的单调区间: 3 2 3 3 2 ⑴ y=x -9x +24x; ⑵ y=x-x . (4)f (x)=2x -9x +12x-3 2 2.讨论二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的单调区间. 3.在区间(a, b)内 f'(x)>0 是 f (x)在(a, b)内单调递增的 ( A ) A.充分而不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (二)举例 例 1.求下列函数的单调区间 (1) f (x)=x-lnx(x>0); (2) f ( x) ? log(3x 2 ? 5x ? 2) (3) y ? (4) 3 ( 2 x ? 1)(1 ? x ) 2 . (b>0) f ( x) ? ln(3x ? b) (5)判断 f ( x) ? lg( x ? x 2 ) 的单调性。 分三种方法: (定义法) (复合函数) (导数) 1 1 例 2. (1)求函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调减区间. 3 2 (2)讨论函数 f ( x) ? bx (?1 ? x ? 1, b ? 0) 的单调性. x2 ? 1 (3)设函数 f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1),其中 a≥–1,求 f (x)的单调区间. 2 2

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