两条直线所成的角教案


两条直线所成的角
一、教学目标 (一)知识教学点 一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式 解题. (二)能力训练点 通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法; 通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力. (三)学科渗透点 训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯. 二、教材分析 1.重点:前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况

作定量的研究. 两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得 到,教学时要讲请 l1、l2 的公式的推导方法及这一公式的应用.
2,难点:公式的记忆与应用. 3.疑点:推导 l1、l2 的角公式时的构图的分类依据. 三、活动设计 分析、启发、讲练结合. 四、教学过程 (一)引入新课 我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样 根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题. (二)l1 到 l2 的角正切 两条直线 l1 和 l2 相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,

我们把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的角, 叫做 l1 到 l2 的角. 图 1-27 中,直线 l1 到 l2 的角是θ 1,l2 到 l1 的角是θ 2(θ 1+θ 2=180°).
l1 到 l2 的角有三个要点:始边、终边和旋转方向.
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现在我们来求斜率分别为 k1、k2 的两条直线 l1 到 l2 的角,设已知直线的方程

分别是

l1∶y=k1x+b1

l2∶y=k2x+b2

如果 1+k1k2=0,那么θ =90°, 下面研究 1+k1k2≠0 的情形. 由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究 θ 与 l1 和 l2 的倾角的关

系入手考虑问题.
设 l1、l2 的倾斜角分别是α 1 和α 2(图 1-32),甲图的特征是 l1 到 l2 的角

是 l1、l2 和 x 轴围成的三角形的内角;乙图的特征是 l1 到 l2 的角是 l1、l2 与 x 轴围成的三角形的外角.
tgα 1=k1,

tgα 2=k2.

∵θ =α 2-α 1(图 1-32), 或 θ =π -(α 1-α 2)=π +(α 2-α 1), ∴tgθ =tg(α 2-α 1). 或 tgθ =tg[π (α 2-α 1)]=tg(α 2-α 1). 可得



eq \x(

)

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上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆. (三)夹角公式 从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需 要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用

下面的公式

(四)例题

解:k1=-2,k2=1.

∴θ =arctg3≈71°34′. 本例题用来熟悉夹角公式.

已知直线 l1: A1x+B1y+C1=0 和 l2: ≠0、A1A2+B1B2≠0),l1 到 l2 的角是θ ,求证:

例2

A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2

证明:设两条直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,则
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这个例题用来熟悉直线 l1 到 l2 的角. 例 3 等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y-2=0,底边所在的直线 l2

的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线 l3 的方程.
解:先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另 一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关. 设 l1、l2、l3 的斜率分别是 k1、k2、k3,l1 到 l2 的角是θ 1,l2 到 l3 的角

是θ 2,则 .

因为 l1、l2、l3 所围成的三角形是等腰三角形,所以 θ 1=θ 2. tgθ 2=tgθ 1=-3.

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解得

k3=2.

因为 l3 经过点(-2,0),斜率为 2,写出点斜式为 y=2[x-(-2)], 即

2x-y+4=0.

这就是直线 l3 的方程. 讲此例题时,一定要说明:无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要 为锐角都为锐角,要为钝角都为钝角. (五)课后小结 (1)l1 到 l2 的角的概念及 l1 与 l2 夹角的概念; (2)l1 到 l2 的角的正切公式; (3)l1 与 l2 的夹角的正切公式; (4)等腰三角形中, 一腰所在直线到底面所在直线的角, 等于底边所在直线到

另一腰所在直线的角.
五、布置作业 1.(教材第 32 页,1.8 练习第 1 题)求下列直线 l1 到 l2 的角与 l2 到 l1 的

角:

∴θ 1=45°.

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l2 到 l1 的角θ 2=π -θ 1=arctg3. 2.(教材第 32 页,1.8 练习第 2 题)求下列直线的夹角:

∵k1·k2=-1, ∴l1 与 l2 的夹角是 90°. (2)k1=1,

k2=0.

两直线的夹角为 45°.

∴l1 与 l2 的夹角是 90°. 3.(习题三第 10 题)已知直线 l 经过点 P(2,1),且和直线 5x+2y+3=0 的夹

角为 45o,求直线 l 的方程.

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即 3x+7y-13=0 或 7x-3y-11=0. 4.等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 2x-y+4=0,底面所在的直线 l2

的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线 l3 的方程.
解:这是本课例 3 将 l1 与 l3 互换的变形题,解法与例 3 相同,所求方程为: x-2y-2=0. 六、板书设计

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