【高考数学】2018-2019学年高三理科数学二轮复习:专题三数列第二讲 数列的通项与求和-含解析


专题三 第二讲 高考导航 数列 数列的通项与求和 以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和. 2.利用递推关系求数列的通项、前 n 项和. 2 1.(2017· 石家庄一模)已知正项数列{an}中,a1=1,且(n+2)an +1 2 -(n+1)an +anan+1=0,则它的通项公式为( ) A.an= C.an= 1 n+1 n+2 2 2 B.an= n+1 D.an=n 2 [解析] 因为(n+2)a2 所以[(n+2)an+1 n+1-(n+1)an+anan+1=0, -(n+1)an]· (an+1+an)=0.又{an}为正项数列,所以(n+2)an+1-(n+ an+1 n+1 1)an=0,即 a = , n n+2 a2 2 2 an an-1 n n-1 则当 n≥2 时,an= · · …· · a1= ·n · …· · 1= . a1 3 an-1 an-2 n+1 n+1 2 又∵a1=1 也适合,∴an= ,故选 B. n+1 [答案] B 2.(2016· 浙江卷)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上, 且|AnAn+1|=|An+1An+2|, An≠An+2, n∈N*, |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, Bn≠Bn +2 , n∈N*(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合). 若 dn=|AnBn|, Sn 为△AnBnBn 的面积,则( ) +1 A.{Sn}是等差数列 B.{S2 n}是等差数列 C.{dn}是等差数列 D.{d2 n}是等差数列 [解析] Sn 表示 An 点到对面直线的距离(设为 hn)乘以|BnBn+1|长 1 度的一半,即 Sn= hn|BnBn+1|,因为|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,所以|BnBn 2 +1|的长度为定值,设锐角为 θ,则 hn=h1+|A1An|sinθ, 1 1 ∴Sn= (h1+ |A1An|sinθ)|BnBn+ 1|,Sn+ 1= (h1+ |A1An+1|sinθ)|Bn+ 2 2 1Bn+2|, 1 ∴Sn+1-Sn= (|AnAn+1|sinθ)· |BnBn+1|, 2 ∵|AnAn+1|,|BnBn+1|为定值,所以 Sn+1-Sn 为定值,即 Sn 是等差 数列,故选 A. [答案] A 3.(2017· 全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=3,S4= 1 10,则 ? S =________. k= 1 k n [解析] 4×3 ? ?S4=4a1+ 2 d=10, 由题意知,? ? ?a3=a1+2d=3, 解得 a1=1,d=1, ∴Sn= n?n+1? , 2 ?1 1 ? 1 ? - ∴S =2? n ? ?. n + 1 n ? ? ? 1 1 1 1 1 ? 2n 1 ?1- + - +…+ - ? ∴ ? S =2? 2 2 3 . n ?= n + 1 k ? ? n+1 n k=1 [答案] 2n n+1 4.(2017· 天津卷)已知{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*), {bn}是首项为 2 的等比数列, 且公比大于 0, b2+b3=12, b3=a4-2a1, S11=11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{a2nb2n-1}的前 n 项和(n∈N*). [解 ] (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由已知 b2+b3=12,得 b1(q+q2)=12,而 b1=2,所以 q2+q-6=0. 又因为 q>0,解得 q=2.所以 bn=2n. 由 b3=a4-2a1,可得 3d-a1=8.① 由 S11=11b4,可得 a1+5d=16,② 联立①②,解得 a1=1,d=3,由此可得 an=3n-2. 所以数列{an}的通项公式为 an=3n-2, 数列{bn}的通项公式为 bn=2n. (2)设数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 Tn, 由 a2n=6n-2,b2n-1=2×4n-1, 有 a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故 Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n, 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得 -3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1 = 12×?1-4n? 1-4 -4-(3n-1)×4n+1 =-(3n-2)×4n+1-8. 得 Tn= 3n-2 n 1 8 ×4 + + . 3 3 3n-2 8 所以数列{a2nb2n-1}的前 n 项和为 ×4n+1+ . 3 3 考点一 数列通项公式的求法 求数列的通项公式 ?S1,n=1, ? (1)公式法:由 an=? 求通项公式. ? ?Sn-Sn-1,n≥2 (2)累加法:由形如 an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)的递推关系 求通项公式时,常用累加法. an+1 (3)累乘法:由形如 a =f(n)(f(n)是可以求积的)的递推关系求通 n 项公式时,常用累乘法. (4)构造法:由形如“an+1=Aan+B(A≠0 且 A≠1)”的递推关系 求通项公式时,可用迭代法或构造等比数列法.角度 1:累加法、累 乘法求数列通项 [解析] 因为 an+1-1=an+2n, 所以当 n≥2 时,an-an-1=2n-1, an-1-an-2=2(n-1)-1, an-2-an-3=2(n-2)-1, … a2-a1=2×2-1, 将以上各式相加, 得 an-a1=(2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+…+(2×2- 1) = [2n + 2(n - 1) + 2(n - 2) + … + 2× 2] - (n - 1) = +1=(n-1)(n+

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