两条直线所成的角教案1


两条直线所成的角教案 1 教学目标 1.使学生理解两条直线夹角的概念,掌握夹角公式的推导及运用. 2.通过夹角公式推导过程的教学,培养学生周密分析、严格论证 的能力. 3.使学生进一步体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问 题的方法. 教学重点与难点 夹角公式的推导及解析法的运用. 教学过程 一、复习提问 师:请同学们回忆一下,平面内不重合的两条直线的位置关系有几 种?分别是什么? 生:两条直线的位置关系有平行和相交两种. (学生有可能答平行和垂直两种位置关系,教师应注意纠正.) 师:相交这种位置关系中有一种非常特殊的情况,即两条直线垂直, 在解析几何中是利用什么来判定两条直线垂直的呢? 生:利用两条直线的方程. 师:对!直线方程是直线这一平面图形的代数化,通过对直线方程 的性质的研究就可以得到相应的图形——直线的性质,那么两条直线 l1 和 l2 的方程有什么性质,两条直线便垂直了? 生:如果两条直线的斜率都存在,而且斜率互为负倒数,两条直线 互相垂直.反之,若两条直线互相垂直,斜率互为负倒数. 师:如果两条直线斜率都不存在呢? 生:因为这两条直线都垂直于 x 轴,所以根本不可能互相垂直. 师:如果一条直线 l1 的斜率存在,而另一条直线 l2 斜率不存在呢?

生:关键是看 l1 的斜率 k1 是不是等于零,如果 k1=0,那么 l1 垂直于 l2,如果 k1≠0,l1 与 l2 肯定不垂直. (如果学生答不出来,可以画出 l2 帮助思考.) 师:好,通过以上这些问题,综合起来才是完整的,同学们在考虑 直线的问题时,一定要注意直线的斜率是否存在.另外,直线间的位置 关系与直线的斜率密切相关,斜率又由倾斜角来确定,所以研究直线的 位置关系就离不开倾斜角这一几何图形的帮助,这一点同学们在推导两 条直线平行垂直的判定方法时就应该注意到了. 然而两条直线相交更一般的情况是不垂直,那用什么来刻画两条直 线的相对位置呢? (用两支铅笔演示两条直线相交成角变化,学生一般能回答出来用 角来刻画.) 二、讲授新课 师:请同学们看,两条直线相交,一共构成几个角?它们之间有什 么关系? 生:一共构成 4 个角,它们是两对对顶角. 师:如果这 4 个角全相等,我们称这两条直线垂直.如果这 4 个角 不全相等,为统一也为研究方便,我们研究哪对对顶角更好呢? 生:愿意研究锐角. 师:我们给出定义. (板书) 1.两条直线所成的角.两条直线相交,称不大于直角的角叫做两 条直线所成的角,简称夹角. 师:由夹角定义,能否得到夹角 θ 的取值范围呢?

师:如果只研究两条直线斜交的位置关系,有两条直线的夹角就足 够了,但是要研究多条直线时,夹角就有局限性,比如图 1-24 中,l1 与 l3 的夹角等于 l2 与 l3 的夹角, 但 l1 与 l2 的位置关系并不确定, 所以最 好让“角”也具有方向.

(板书) 2.l1 到 l2 的角.把直线 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时所转的 角,叫做 l1 到 l2 的角,简称到角. 师:如图 1-25,l1 到 l2 的角为 θ 1,l2 到 l1 的角为 θ 2,θ 1 和 θ 有什么关系?
2

生:θ 1 与 θ 2 和为 180°. 师:可以看出,到角是有顺序的,它具有指向性,我们现在关心的 是 l1 到 l2 的角是多大,如何用解析几何的方法来求证? 生:应该对两条直线方程进行研究. 师:为了具有一般性,我们设出直线的方程. (板书) 设 l1:y=k1x+b1,或 x=x1;

l2:y=k2x+b2,或 x=x2,(k1≠k2)
师: 可以看到, l1、 l2 的方程情况很多, 先研究简单、 特殊的情况—— 有一条直线斜率不存在. (1)若 l1:y=k1x+b1,l2:x=x2,那么 l1 到 l2 的角可通过图形来观察.

显然 θ 与 l1、l2 的倾斜角 α 1、α 2 相关,根据图 1-26(1)可以看出 θ =α 2-α 1=90°-α 1; 根据图 1-26(2)则有 θ =α 2+180°-α 1=270° -α 1,由于这种情况特殊,所以画出图来帮助分析就可以了,我们研究 的重点是两条直线斜率都存在时,l1 到 l2 的角如何计算.

(2)若 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,且 1+k2k1≠0(因为要研究两直线 斜交的情况).设 l1 到 l2 的角为 θ . 师:请同学们思考 θ 与直线方程的关系,明确地说,由什么量决定 θ ? 生: 两条直线所成的角应该和这两条直线的方向有关(教师追问直线 方向的代数化是什么).直线的方向的代数化是直线的斜率,所以 l1 到 l2 的角应该和这两条直线的斜率有关. 师:我们现在想找 θ 与 k1、k2 的关系,应该怎么办呢? 生:θ 是角,k1,k2 是实数,不太容易找关系. 生:k1、k2 也是和角有关的,是不是可以间接找关系? 生:试试先找 θ 和 l1、l2 的倾斜角的关系,然后再转化为 k1、k2 的 关系. 师:很好,l1,l2 的倾斜角 α 1、α 2 是联系 θ 与 k1、k2 的纽带了, 能不能凭空想出 θ 与 α 1、α 2 的联系? 生:应该画图帮助思考. 师:请一位同学在黑板上画出图形,反映两直线斜交的情况,其他 同学在笔记本上画.

(教师巡视学生作图情况,根据黑板上作出的图形,另外挑一位同 学上黑板画图,两个图形分别代表 α 1<α 2,α 1>α 2 的情况,如图 1- 27.)

师:两幅图有什么区别? 生:图(1)中 α 1<α 2,图(2)中 α 1>α 2. 师:l1、l2 相对位置不同,θ 与 α 1、α 2 的关系可能不一样,我们 先研究图(1)中的情况. 由于 l1 与 l2 相交,α 2 为三角形的外角,α 1 为这个三角形的内角, 故有 (板书) θ =α 2-α 1. 师:得到了 θ 与 α 1、α 2 的关系,如何转化为斜率呢? 生:取角的正切. 师:为什么? 生:因为斜率是倾斜角的正切值,取了角的正切,就把这个倾斜角 转化为斜率了. 师:等式两边取正切,有 (板书)

师:由于 k1、k2 存在且 1+k2k1≠0,所以这个关系式有意义,对于图 (2)是否有相同的结论呢? 可以看到, α 1 是三角形的外角, α 2 是三角形的内角, α 1=α 2+(180° -θ ),所以有 (板书) θ =180°+α 2-α 1. 生:仿照上面的做法,等式两边取正切,然后利用两角差的正切公 式,转化为单角的正切. (学生叙述,教师板书)

师:比较两种情况的结果发现,无论 l1 与 l2 的相对位置如何,l1 到 l2 的角的正切的表达式是一致的. (板书) 3.“l1 到 l2 的角”公式.设 θ 是 l1 到 l2 的角,则有

师:同学们要注意,公式的分子是角的终边所在直线 l2 的斜率减去 角的始边所在直线 l1 的斜率,绝不能颠倒.由 tanθ 的取值情况,能否 判定 θ 的取值? 生:当 tanθ >0 时,θ 是锐角,当 tanθ <0 时,θ 是钝角. 师:这个公式该怎么证呢? 生:利用两角差的正切公式. 生:记公式的推导过程,只记图(1)中的 3 个角的关系. (这时不必强求一致) 师:怎么求 l2 到 l1 的角 θ '呢? 生:可以把公式中的 k1 换成 k2,k2 换成 k1,也就是

师:同学们在利用这一公式求“到角”时,一定要注意哪条直线是 l1,哪条直线是 l2,还需要条件 l1 与 l2 不垂直,即 1+k2k1≠0. 接下来的一个问题是:tanθ 和 tanθ '有什么关系?说明了什么? 生:tanθ 与 tanθ '互为相反数.说明 θ 和 θ '二个角中,一个是 锐角,一个是钝角,正切值的绝对值相等,所以 θ +θ '=180°.

(板书) 4.夹角公式

角,可能是钝角;另一个是夹角,无方向,只能是锐角,求角时要 注意求的是夹角还是到角,弄清角的类型再调动相应的公式. 师:我们来利用所学的知识解决一些问题. (板书,或打出投影)

师:这里已知两直线方程,要求两条直线的夹角,如何处理? 生:由已知直线方程就可以知道两条直线的斜率,再利用夹角公式 就能求出夹角了. 师:求夹角不必考虑始边与终边,直接代入夹角公式计算结果. 解 直线 l1 的斜率为 k1=-2,l2 的斜率为 k2=1,所以 l1 与 l2 的夹角 θ 有:

因为 θ 是锐角,所以 θ =arctan3. 师:如果再求 l1 到 l2 的角,这个角多大?,l2 到 l1 的角又多大? 生:那需用到角公式,求出 l1 到 l2 的角的正切为-3,这个角是钝 角,所以 l1 到 l2 的角是 π -arctan3,l2 到 l1 的角是 arctan3. 师:答案正确,从这道题的求解我们可以总结些什么规律?明确地 说,是该如何选择公式?结果是正还是负? 生:如果所求是两条直线的夹角,就用夹角公式,求出的值必是正 值;如果求一条直线到另一条直线的角,就得用到角公式,它不带绝对 值符号,求出的值可能是正的,也有可能是负的. 师:归纳得很好,之所以求夹角时选用带有绝对值符号的公式,是 因为不必区分两条直线中的哪一条是始边,哪一条是终边;而“到角” 具有方向性,所以公式中的分子是终边的斜率减去始边的斜率,由正切

值判断这个角是锐角还是钝角,当难以区分夹角还是到角时应画出图形 帮助分析,判断. (板书) 例 2 等腰三角形一腰所在的直线 l1 的方程是 x-2y-2=0,底边所 在的直线 l2 的方程是 x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直 线 l3 的方程. 师:要求直线 l3 的方程,已知点(-2,0)在 l3 上,故只需求出 l3 的 斜率 k3,要求 k3,运用方程思想,要建立关于 k3 的一元方程.那么就需 从题目中挖掘等量关系,从而转化为一个含 k3 的等式,显然“等腰三角 形”这一条件十分重要,它能推出两腰长相等,两底角相等.那么与 k3 有关的条件是底角相等,所以要用已知的直线方程表示等腰三角形的底 角,通过等腰三角形两底角相等建立关于 k3 的等式. (由学生列等式,教师巡视,从中发现不当的解法,加以展示.) 生:因为 l3、l1 是三角形的二腰所在的直线,所以 l3 与 l2 的夹角等 于 l1 与 l2 的夹角,所以有 (板书)

三角形,这个解法有问题. 师:这就是我们刚才说的,两个夹角相等,二直线位置并不确定, 所以应用到角,为避免错误,结合直观图形加以判断. (只需画出三线相对位置,如图 1-28.)

生:由图可以看出,l2 到 l1 的角 θ 1 等于 l3 到 l2 的角 θ 2,列式 (板书)

解得 k3=2. 因为 l3 过点(-2,0), 所以直线 l3 的方程为 y=2(x+2),即 2x-y+4=0. 师:通过这两道例题,我们可以看到,恰当地调用公式是十分重要 的,角度与两条直线的先后顺序没有关系时,应选用夹角公式,运算可 变得简捷一些,但一定要加以判断;角是否与直线顺序无关;若角度与 直线的先后顺序有关,或是出现多条直线时,通常要用“到角”公式, 且要画图以助分析. 三、小结 师:本节课研究的是两条直线斜交所成的角、有关公式及应用,从 公式推导过程,同学们要体会其中的数学思想:如转化思想,方程思想, 分类讨论思想,数形结合思想,体会研究解析几何问题的基本方法,此 外要掌握公式并能灵活运用. 四、作业 (1)复习课本中“两条直线所成的角”一节. (2)课本习题(略).

设计说明 直线是最基本、最简单的平面图形,学生在初中就已研究过许多有 关直线的理论,如两条直线平行、相交的位置关系,成角与距离等数量 关系,但在解析几何中,解析法这种方法对学生来说是陌生的,所以课 本要通过直线这一学生熟悉的图形、学生熟知的性质来使学生理解并掌 握解析几何的基本思想和方法. 对于两直线成角,学生并不难理解与接受,因为他们已经有了研究 两条直线平行和垂直位置关系的经验.其实平行和垂直都是两直线成角 的问题,都是通过两条直线的斜率(如果存在)来研究的,因而利用斜率 讨论两条直线斜交的成角就十分自然了,在研究过程中,都离不开倾斜 角这个中间环节,学生不难想到研究新问题的手段与方法,所以在教学 中应多启发学生,让学生参与到问题的研究中来,通过类比、归纳、推 证得出结论. 在教学中要注意解析几何思想方法的渗透,时刻提醒学生,我们是 用代数方法研究几何图形,同时注意思考上要严密,表述上要规范,学 好这一章的知识能为进一步研究圆锥曲线作好知识上方法上的准备,也 为今后灵活运用解析几何的基本思想方法打下坚实的基础.


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