高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.2 综合法与分析法_图文


第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 栏 目 链 接 1.理解综合法和分析法的实质,掌握分析法、综合 法和证明不等式的步骤. 2.了解用分析法证明不等式. 3.了解用综合法证明不等式. 4.提高综合应用知识解决问题的能力. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.综合法. 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证 明方法叫做 ________又叫顺推证法或 ________. 综合法 由因导果法 2.分析法. 证明命题时,我们还常常从要证的________ 结论 出发,逐 步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为 ________或一 已知条件 个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从 栏 目 链 接 分析法 而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做 ________.这是 一种执果索因的思考和证明方法. a b 思考 1 a,b 都是正数.用综合法证明: + ≥2. b a a b 证明: 由基本不等式 A+B≥2 AB(A, B∈R )可得b+a≥2 a b =2,即b+a≥2.当且仅当 a=b 时,等号成立. + ab b· a 栏 目 链 接 a+m 思考 2 已知 a, b, m 都是正数, 并且 a<b.用分析法证明: b+m > . 证明:因为已知 a,b,m 都是正数, a +m a 要证 > ,(1) b +m b 只需证________,(2) 要证(2),只需证 bm>am,(3) 要证(3),只需证________,(4) 已知(4)成立,所以(1)成立. a b 栏 目 链 接 答案:b(a+m)>a(b+m) b>a 3.以前得到的结论,可以作为证明的根据.如A+ B≥2(A>0,B>0),A2+B2≥2AB等常常要用到的一些重要 不等式. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 题型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1.求证: (1)(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc; 1 (2)ab+bc+ac≤ . 3 证 明 : (1)(1 - a)(1 - b)(1 - c) = (b + c)(a + b)(a + c)≥2 bc·2 ab·2 ac=8abc; 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. (2)因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca), 所以 ab+bc+ca≤a2+b2+c2, 所以 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2 =1, 1 1 所以 ab+bc+ca≤ .当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3 3 栏 目 链 接 变 式 训 练 1.已知a>0,b>0,c>0且不全相等,求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 证明:因为b2+c2≥2bc,a>0, 所以a(b2+c2)≥2abc,① 因为c2+a2≥2ac,b>0, 所以b(c2+a2)≥2abc.② 栏 目 链 接 因为a2+b2≥2ab,c>0, 所以c(a2+b2)≥2abc.③ 由于a,b,c不全相等,所以上述①②③式中至少有一个 不能取等号,把它们相加得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+ b2)>6abc. 题型二 分析法证明不等式 a b c 例 2 设△ABC 的边长分别是 a, b, c 且 m>0, 求证: + > . a+m b+m c+m 证明:由已知 a>0,b>0,c>0,m>0. a b c 欲证 + > , a+m b+m c+m a b+m +b a+m c 只需证 > , a+m b+m c +m 2ab+m a+b c 即证 > , ab+m a+b +m2 c+m ab+m a+b +m2 c+m 只需证 < , 2ab+m a+b c m2-ab m 即证 1+ <1 + , 2ab+m a+b c 栏 目 链 接 只需证 m2c-abc<2mab+m2(a+b)成立, 即证 m2[c-(a+b)]<ab(2m+c)成立. ∵a,b,c 分别是△ABC 的三边长,∴a+b>c. 即 c-(a+b)<0,而 m >0, ∴m2[c-(a+b)]<0. 而 ab(2m+c)>0, ∴m2[c-(a+b)]<ab(2m+c)成立. ∴原不等式成立. 2 栏 目 链 接 题型二 分析法与综合法的灵活运用 例 3 设 x,y∈(0,+∞).求证: 1 1 2 (x+y) + (x+y)≥x y+y x. 2 4 证明:原不等式?2(x+y)2+(x+y)≥4x y+4y x? (x+y)[2(x+y)+1]≥2 xy(2 x+2 y). ∵x+y≥2 xy>0, ∴只需证 2(x+y)+1≥2 x+2 y. ? 1? ? 1? 即证?x+ ?+?y+ ?≥ 4? ? 4? ? 栏 目 链 接 x + y. 1 y = x,y+ ≥2 = y, 4 4 4 1 当且仅当 x=y= 时,等号成立, 4 1 1 2 ∴ (x+y) + (x+y)≥x y+y x. 2 4 1 而 x+ ≥2 4 x 栏 目 链 接 变 式 训 练 2.已知 a,b,c∈R+,且互不相等,abc=1,求证: 1 1 1 a+ b+ c< + + . a b c 证明:证法一 因为 a,b,c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1 11 1 1?1 1? 1 所以 a + b + c = bc + ac+ ab< b + c + ?a+c? + 2 2? ? 2 ?1 1? 1 1 1 ? + ?= + + . ?a b? a b c 证法二 a,b,c 是不等正数,且 abc=1, 1 1 1

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