湖南省株洲市二中2013-2014学年高一数学上学期第二次月考试题


株洲市二中 2013-2014 学年上学期高一第二次月考数学试题
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) . 1.设集合 M ? {?1,0,1} , N ? {x | x ? x} ,则 M ? N ? (
2



A.{0} 2.函数 y ?

B.{0,1}

C.{-1,1} (

D.{-1,0,0} )

1 的定义域为 log 0.5 (4 x ? 3)
B. (

A. (

3 ,1) 4

3 ,∞) 4

C. (1,+∞)

D.(

3 ,1)∪ 4

(1,+∞) 3.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于( ... A. 3 C. 2 3 B.2 1 D.6 1 4.若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A. (0,1)
2



1

) D. (3,4)

B. (1,2)

C. (2,3) ) C. (-∞,-3 ]

5.函数 y=log 1 (x -6x+17)的值域是 (
2

A.R

B. [8,+ ?)

D. [-3,+∞]

6. ?、?、? 表示不同平面, m、n 表示不同直线,则下列说法中可以判定 ? // ? 的是 ( ) ① ? ? ?,? ? ? ; ② 由 ? 内不共线的三点作平面 ? 的垂线,各点与垂足间线段的长度都相等; ③ m // n, m ? ? , n ? ? ;④ m、n是?内两条直线,且 m // ?,n // ? 。 A. ①② B.② C.③④ D.③

7.已知直线 a, b 和平面 ? ,有以下四个命题:

1

① 若 a // ? , a // b, 则b // ? ; ③ 若 a // b, b ? ? , 则a ? ? ; 其中真命题的个数为( A.0 B.1 )

② 若 a ? ?,b ? ? ? A,则a与b 异面; ④ 若 a ? b, a ? ? , 则b // ?

C.2

D.3

8.设 S 是整数集 Z 的非空子集,如果对任意的 a, b ? S ,有 ab ? S ,则称 S 关于数的乘法 是封闭的. 若 T、V 是 Z 的两个不相交的非空子集, T ?U ? Z 且任意的 a, b, c ? T ,有 abc ? T , 任意的

x, y, z ?V ,有 xyz ?V ,则下列结论恒成立的是(



A. T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的 的 C. T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的

B. T , V 中至多有一个关于乘法是封闭

D. T , V 中每一个关于乘法都是封闭的

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) . 9.幂函数 f(x)的图象过点 ? 3, ? ,则 f ( ) = 10.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,CD 与 BC1 所成的角为

? 1? ? 9?

1 2

. .

? x 2 ? 1, x ? 0 11 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? , 则 满 足 不 等 式 f (1) ? f (2 x) 的 x 的 范 围 x?0 ?1,
是 . .
0

12.圆柱的侧面展开图是边长为 4 的正方形,则圆柱的体积是

13.将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当二面角 B-AC-D 为 120 时,DB 的长 为 14 . 实 数 是 .

a ? 0.62 0 1 ,3b ? 0.6


2014

0 6 , c ? 2013 , d . ? log 2013 0.6

从小到大的顺序

2

15.已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 则(1) f ? 0 ? =

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? . 4
; (2) f ? 2013? = .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 75 分) . 16. (本题满分 12 分)如图所示,已知,PA 垂直圆 O 所在平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上 一点. (Ⅰ) 求证:平面 PBC⊥平面 PAC; ( Ⅱ )若 BC=1,AB= 2 ,PC=2,求二面角 P-BC-A 的平面角大小.
P

A C

O

B

?2 x ? b 17. (本题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a
(Ⅰ) 求 a、b 的值; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? (log a x) ? log a x ? 2b 在 x ? [ , 4] 上的值域.
2 2

1 2

18. (本题满分 12 分)已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示,其中侧视图和俯视图都是 腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.求: (Ⅰ)异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅱ)几何体 E ? ACD 的体积 V 的大小; (Ⅲ)CD 与平面 ABD 所成的角的正弦值.

3

19. (本题满分 13 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, ∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ) 证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积. P

A B E C

D

20. (本题满分 13 分)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地

4

政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入 x 万元,可获得纯利润 P=-
2

1 (x 160

-40) +100 万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产 的销售,其规划方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建成,通车前该特产 只能在当地销售;公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售 159 119 2 的投资收益为:每投入 x 万元,可获纯利润 Q=- (60-x) + ·(60-x)万元,问仅从 160 2 这 10 年的累积利润看,该规划方案是否可行?

21. (本题满分 13 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .
2

(Ⅰ)若 a ? b ? c ,且 f (1) ? 0 ,证明 f ( x) 的图象与 x 轴有 2 个交点; ( Ⅱ ) 若 对

1 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ), 方程f ( x) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )]有2个不等实根, 2

证明必有一个根属于( x1 , x2 ) ;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在 m∈R,使得 f (m) ? ?a 成立时, f (m ? 3) 为正数, 若存在,证明你的结论;若不存在,说明理由.

5


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