2013届高三马鞍山二模文科数学答案


文科数学参考解答和评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 (11) log1.2 0.8 (12) 2 2 (13) y ? x ? 1 (14) 13 . (15)①④⑤ 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: cos 2a + cos 2b = 2cos(a + b ) cos(a - b ) (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 A ? ,求 sin 2 B + sin 2 C 的最大值. 3 (Ⅰ)证明: cos 2a + cos 2b = cos 轾 + b )+ (a - b ) + cos 轾 + b )- (a - b ) (a (a 臌 臌
= [cos(a + b ) cos(a - b ) - sin(a + b )sin(a + b )] + [cos(a + b ) cos(a - b )+ sin(a + b )sin(a + b )] = 2cos(a + b ) cos(a - b )

1 B

2 C

3 B

4 D

5 A

6 C

7 D

8 A

9 C

10 B

?

所以原等式成立.????????????????4 分 1- cos 2B 1- cos 2C 1 (Ⅱ)解法 1 sin 2 B + sin 2 C= + = 1- (cos 2B + cos 2C ) 2 2 2 1 = 1- cos (B + C )cos (B - C ) = 1- cos (B - C ) ????????8 分 2 3 p 2p 2p p ∵ A= ∴ B- C ? ( ???12 分 ( , ) ∴ B= C= 时, sin 2 B + sin 2 C) = max 2 3 3 3 3
2p 1- cos 2 B + 解法 2 sin B + sin ( - B)= 3 2
2 2

1- cos(

4p - 2 B) 骣 1 p 3 = 1+ cos ?2B - ÷ ÷ ? ? 2 桫 2 6÷

解法 3 ∵ A =

p 由余弦定理可得 3 b2 + c 2 b2 + c 2 a2 = b2 + c2 - bc ? b2 c2 = 2 2 ∴ b 2 + c 2 2a 2 3 由正弦定理可得 sin 2 B + sin 2 C ? 2sin 2 A ??类似解法参照给分 2

(17)(本小题满分 12 分)通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下 的列联表: 男 女 合计 40 40 80 看营养说明 20 10 30 不看营养说明 60 50 110 总计 (Ⅰ)从这 60 名男生中按是否看营养说明采取分层抽样的方法,抽取一个容量为 6 的样本,问样 本中看与不看营养说明的男生各有多少名? 6 解:(Ⅰ)根据分层抽样可得:样本中看营养说明的男生有 ? 40 ? 4 名????? 2 分 60
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6 ? 20 ? 2 名.??????????????? 4 分 60 (Ⅱ)从(Ⅰ)中的 6 名男生样本中随机选取 2 名作深度采访,求选到看与不看营养说明的男生各 1 名的概率; 解: (Ⅱ) 记样本中看营养说明的 4 名男生为 a1,a2,a3,a4 不看营养说明的 2 名男生为 b1,b2 ,

不看营养说明的男生有

从这 6 名男生中随机选取 2 名,共有 15 个等可能的基本事件:
(a1,a2 ) , (a1,a3 ) , (a1,a4 ) , (a1,b1 ) ,(a1,b2 ),

( a2,a3 ) , ( a2,a4 ) , (a2,b1 ) , ( a2,b2 ) , ( a3,a4 ) , (a3,b1 ) , ( a3,b2 ) ,
(a4,b1 ) ,(a4,b2 ),

(b1,b2 ) ;?????????????????????????????? 6 分
( ( ( ( ( ( ( 其中符合要求的是 (a1,b1 ) , a1,b2 ), a2,b1 ) , a2,b2 ) , a3,b1 ) , a3,b2 ) , a4,b1 ) , a4,b2 ).

8 .?????????????????????????8 分 15 (Ⅲ)根据以上列联表,是否有 85%的把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关? n(ad ? bc) 2 参考公式: K 2 ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

故所求的概率为 P ?

参考值表: P( K 2 ? k0 )
k0

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

解:(Ⅲ)假设 H 0 :该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关,则 K 2 应该很小. 110 ? (40 ? 20 ? 40 ?10)2 110 ? (4 ? 2 ? 4 ?1) 2 11?16 ? ? ? 2.444 ??10 分 由题设条件得: K 2 ? 80 ? 60 ? 50 ? 30 8? 6?5?3 72 因为由 2.444 ? 2.072 可知,所以有 85% 的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养 说明”有关. ??????????????????????????????? 12 分 【命题意图】.本题考查独立性检验、古典概型,中等题. F (18)(本小题满分 12 分) E 如图,正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂 直, FA ? AC , EF // AC , AB ? 2 , EF ? FA ? 1 . (Ⅰ)求证: CE // 平面BDF ; A (Ⅱ)求证: BE ? 平面DEF D 【证明】(Ⅰ)设正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O , 连接 FO .由题知 EF ? OC ? 1 , B C ∵ EF // AC ,∴四边形 CEFO 为平行四边形??2 分 第 18 题图
? ? ∴ CE ? 平面BDF ? ? CE // 平面BDF ?????6 分 OF ? 平面BDF ? ? CE // OF

F E

(Ⅱ)
? ? 平面ABCD ? 平面ACEF ? AC ? ? FA ? 平面ABCD ?8 分 ? FA ? AC ? 连 EO ,易知四边形 AOEF 为边长为 1 的正方形 ∴ EO ? 平面ABCD ? EO ? BD 平面ABCD ? 平面ACEF
A O B C D

第 18 题图

∴ △BDE 为等腰三角形, BD ? 2BO ? AB2 ? AD2 ? 2

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BE ? DE ? BO2 ? EO2 ? 12 ? 12 ? 2 ∵ BD 2 ? BE 2 ? DE 2 ∴ BE ? DE 同理在 △BEF 中, BE ? EF ?????10 分 BE ? DE ? ? BE ? EF ? ? BE ? 平面DEF ???12 分 DE ? EF ? E ? ?

【命题意图】本题考查空间几何体的线、面位置关系的证明,中等题 . (19)(本小题满分 13 分)
2 y 2 x2 ,且过点(1, 2 ).斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过椭 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a 2 b2 圆的上焦点且与椭圆相交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) .

已知椭圆

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; 【命题意图】本题考查直线与椭圆的相关知识,位置关系.考查运算能力、分析问题的能力,中等 题. 解:(Ⅰ)依题意,
c 2 ? ,可得 a 2
a 2 ? 2c 2 , 又a 2 ? b2 ? c 2 ,? b2 ? c 2 ,? a 2 ? 2b2

y 2 x2 ? 2 ? 1 ,又过点(1, 2 ),? b2 ? 2, a 2 ? 4 2 2b b y 2 x2 所以椭圆方程为 ? ? 1 .?????????????????????6 分 4 2 (Ⅱ)因为椭圆的上焦点为(0, 2 ),设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

可设椭圆方程

? y ? kx ? 2, ? 可得 (k 2 ? 2) x2 ? 2 2kx ? 3 ? 0 .??????????????8分 x2 ? 1, ? ? ?4 2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,

由 ? y2

则 x1 ? x2 ?

?2 2 k 3 , x1 x2 ? ? 2 . k2 ? 2 k ?2 4 2 . ?????????????????10分 k2 ? 2 ? 2k 2 2 , ), k2 ? 2 k2 ? 2

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

设线段 PQ 中点为 N ,则点 N 的坐标为 ( 由题意有 k MN ? k ? ?1,可得
m?

2 2 2 k 2 ? 2 ? k ? ?1 .得 m ? ,??????12分 k2 ? 2 2k k2 ? 2

2 . ?????????????????????13分 2 【命题意图】本题考查椭圆方程,直线与圆锥曲线的位置关系,中等题 . (20)(本题满分 13 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 4,an ? 0 ,前 n 项和为 S n ,若 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ..

又 k ? 0 ,所以 0 ? m ?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {
1 } 前 n 项和为 Tn ,求 Tn 取值范围. a n a n ?1
.

解: (Ⅰ)∵ an ? Sn ? Sn ?1 ,∴ an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ????????2 分

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? ( Sn ? Sn?1 )( Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

∵ an ? 0 ,∴ Sn ? 0 ,从而 Sn ? Sn?1 ? 1(n ? 2) ???????4 分 数列 ?Sn ? 是一个首项 S1 ? a1 ? 2 ,公差为 1 的等差数列,
Sn ? 2 ? n ?1 ? n ? 1 ? Sn ? (n ? 1)2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 1)2 ? n2 ? 2n ? 1 ?????????6 分 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ∴ an ? ? (Ⅱ) Tn ?
?

n ?1 ?4, ????????????????????7 分 ?2n ? 1,n ? 2

1 1 1 1 ? ? ?? ? a1a2 a2 a3 a3 a4 an ?1an 1 1 1 1 ? ? ??? 4?5 5? 7 7 ?9 (2n ? 1)(2n ? 3)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 4?5 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 3 1 ; ??????????????10 分 ? ? ( ? )? ? 20 2 5 2n ? 3 20 4n ? 6 1 1 ∵ ? 4n ? 6 10 1 3 ∴ Tn ?[ , ) ???????????????????????13 分 20 20 【命题意图】.本题考查递推关系,等差数列、裂项求和、函数单调性,中等题. ?

(21)(本小题满分 13 分) 已知 a ? R , 函数 f ( x) ? x 2 ( x ? a) . (Ⅰ)当 a=3 时,求 f(x)的极值点; (Ⅱ)若存在 x0 ? ?1, 2? , 时,使得不等式 f ( x0 ) ? ?1 成立,求实数 a 的取值范围. 【解】(Ⅰ) 由题意 f ( x) ? x 2 ( x ? 3) , f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3x( x ? 2) ?????????? 1 分 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 ; 当 x ? 0 或 x ? 2 时, f ( x) 单调递增,当 0 ? x ? 2 时, f ( x) 单调递减, ?? 3 分 所以, x ? 0 是极大值点, x ? 2 是极小值????????????????4 分 (Ⅱ) 存在 x0 ? ?1, 2? , 时,使得不等式 f ( x0 ) ? ?1 成立等价于 f ( x) 在 ?1, 2? 上的最小值小于 ?1 . 设此最小值为 m ,而 f / ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3x( x ? 2 a), x ?[1, 2], (1)当 a ? 0 时, f / ( x) ? 0, x ?[1, 2], 则 f (x) 是区间[1,2]上的增函数, 所以 m ? f (1) ? 1 ? a ; ??????????????6 分 (2)当 a ? 0 时, 2 2a 在 x ? 0或x ? 时, f / ( x) ? 0, 从而 f ( x)在区间[ a,?? )上是增函数 ; 3 3
3

2 在 0 ? x ? 2a 时, f / ( x) ? 0, 从而 f ( x)在区间[0, a]上是单减函数 ; ???????? 8 分
3

3

2 当 a ? 2 ,即 a ? 3 时, f ( x) 在 x ? [1, 2] 上单调递减,∴ m ? f (2) ? 8 ? 4a ; 3 2 3 ② 当 1 ? a ? 2 ,即 ? a ? 3 时, f ( x) 在 x ? [1, 2a ] 上单调递减,在 x ? [ 2a , 上单调递增, 2] 3 3 3 2 3 ∴ m ? f ( 2 a ) ? ? 4a . 3 27



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当 0 ? 2 a ? 1即 0 ? a ? 3 时, f ( x) 在 x ? [1, 2] 上单调递增,∴ m ? f (1) ? 1 ? a . 3 2

3 ? ?1 ? a, (a ? 2 ) ? ? 4a 3 3 综上所述,所求函数的最小值 m ? ?? , ( ? a ? 3) .??????????10 分 27 2 ? ?4(2 ? a), (a ? 3) ? ?
33 2 ??????????????13 分 2 【命题意图】.本题考查导数应用---单调性、极值、最值,考查分类讨论思想,中等题.

令 m ? ?1 ,解上述三个不等式得: a ?

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