(成才之路)2014-2015学年高二数学人教a版选修2-1课件2.3.1双曲线及其标准方程_图文


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
圆锥曲线与方程

第二章 2.3 双曲线 第1课时 双曲线及其标准方程

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

? 1.了解双曲线的定义,并能根据双曲线定义 恰当地选择坐标系,建立及推导双曲线的标 准方程. ? 2.通过与椭圆的类比、对照,了解双曲线的 标准方程,并培养学生分析、归纳、推理等 能力. ? 3.掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 a、b、c;能根据条件确定双曲线的标准方 程.

? 重点:双曲线的定义及其标准方程. ? 难点:双曲线标准方程的推导.

? 双曲线的定义
思维导航 1 我们已知函数 y=x 的图象是双曲线,生活中我们也见过类 似双曲线形状的物品,如冷却塔的纵截面,那么双曲线是怎样 定义的,怎样画出双曲线呢? 给你一条拉链、两个圆钉、一支笔,你能画出双曲线吗?

? 新知导学 ? 1.类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定 差 义 ? 在平面内到两个定点F1、F2距离之______的 焦点 绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点 焦距 的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 的__________,两焦点之间的距离叫做双曲 线的________.

? 2.定义中为何强调“绝对值”和 “0<2a<|F1F2|”.
两条射线 ? (1)在双曲线的定义中,条件 0<2a<|F1F2|不 不存在 应忽视,若 2a=|F1F2|,则动点的轨迹是 __________;若2a>|F1F2|绝对值 ,则动点的轨迹 双曲线的一支 是绝对值 __________. ? (2)双曲线定义中应注意关键词“________”, 若去掉定义中“________”三个字,动点轨 迹只能是_____________.

? 双曲线的标准方程 ? 思维导航 ? 类比椭圆方程的建立过程,你该怎样建立双 曲线的方程呢? ? 在椭圆标准方程推导过程中,是令b2=a2- c2,而在双曲线标准方程的推导过程中,是 令b2=c2-a2.这样做有什么好处?

新知导学
x2 y2 3 .焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 ____________ a2-b2=1

(a>0,b>0) ________________ ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 y2 x2 ________________________ . a2-b2=1(a>0,b>0)

? 4.在双曲线的标准方程中a、b、c 的关系为 a2 +b2=c2 __________. ? 5.对比是学习数学中常用的有效的学习方法, 应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识, 深化对新知识的理解的作用,也能有效的避 免知识的混淆.在学习双曲线知识时,要时

? 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 定义|MF1|+|MF2|=2a 因为 a>c>0, 所以令 a2-c2=b2(b>0) x y y x a2+b2=1 或a2+b2=1 (a>b>0)
2 2 2 2

双曲线 定义|MF1|-|MF2|=± 2a 因为 0<a<c, 所以令 c2-a2=b2(b>0) x2 y 2 y2 x2 a2-b2=1 或a2-b2=1 (a>0,b>0,a 不一定大于 b)

? 6.在椭圆的标准方程中,判断焦点在哪个轴 分母 x2、y2项__________的大小,而在双 上是看 系数 曲线标准方程中,判断焦点在哪个轴上,是 看x2、y2__________的符号.

? 牛刀小试 ? 1.已知两定点F1(-3,0)、F2(3,0),在满足 下列条件的平面内动点P的轨迹中,是双曲 线的是( ) ? A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|- |PF2||=6 ? C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||= 0 ? [答案] A

? [解析] A中,∵|F1F2|=6,∴||PF1|- |PF2||=5<|F1F2|,故运点P的轨迹是双曲线; ? B中,∵||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,∴动点 P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点); ? C中,∵||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,∴动点P 的轨迹不存在; ? D中,∵||PF1|-|PF2||=0,即|PF1|=|PF2|, 根据线段垂直平分线的性质,动点P的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线,故选A.

? [点评] 注意双曲线定义中的“小于|F1F2|” 这一限制条件,其依据是“三角形两边之差 小于第三边”.实际上, ? (1)若2a=|F1F1|,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|, 根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2| 时,动点轨迹是以F2为端点的一条射线;当 |PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1 为端点的一条射线; ? (2)若2a>|F1F2|,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|, 则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾, 故动点轨迹不存在; ? (3)特别的当2a=0时,|PF1|=|PF2|,根据线

2.(2014· 山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(0,6),(0, -6),且经过点 A(-5,6),则其标准方程为( x2 y 2 A.16-20=1 y2 x 2 C.20-16=1 y2 x2 B.16-20=1 y2 x2 D.45- 9 =1 )

? [答案] B ? [解析] 由条件知c=6,焦点在y轴上,排除 A、D;又双曲线经过点A(-5,6),排除C.

x 2 y2 3.(2014· 揭阳一中高二期中)已知椭圆a2+ 9 =1(a>0)与双 x 2 y2 曲线 4 - 3 =1 有相同的焦点,则 a 的值为( A. 2 C.4 B. 10 D.10 )

? [答案] C ? [解析] 由条件知a2-9=4+3,∴a2=16, ? ∵a>0,∴a=4.

4.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1) 双曲线的一个焦点坐标是 (0 ,- 6) ,经过点 A( - 5 , 6).________ x 2 y2 (2)与椭圆16+25=1 共焦点, 且过点(-2, 10). ________ x2 y 2 (3) 与 双 曲 线 16 - 4 = 1 有 公 共 焦 点 , 且 过 点 (3 2 , 2).________

y2 x2 y2 x2 [答案] (1)16-20=1 (2) 5 - 4 =1 x2 y2 (3)12- 8 =1

? [分析] (1)由焦点坐标可知c,结合a、b、c 的关系及经过点A(-5,6)可列出关于a、b的 方程组求解. ? (2)由椭圆方程可求焦点,可知与(1)解法同. ? (3)可先求出双曲线焦点,以下与(1)解法同; 也可先由共焦点的双曲线特征设出双曲线方 程,代入已知点求出待定系数.

[解析] (1)解法一:由已知得,c=6,且焦点在 y 轴上, 则另一焦点坐标是(0,6). 因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a,即 2a=| ?-5?2+?6+6?2- ?-5?2+?6-6?2| =|13-5|=8, 得 a=4,b2=c2-a2=62-42=20. y2 x2 因此,所求的双曲线标准方程是16-20=1.

解法二:由焦点坐标知 c=6,∴a2+b2=36, y2 x2 ∴双曲线方程为a2- 2=1. 36-a ∵双曲线过点 A(-5,6), 36 25 2 2 ∴ a2 - 2=1,∴a =16,b =20. 36-a y2 x 2 双曲线方程为16-20=1.

x2 y 2 (2)由16+25=1 知焦点为 F1(0,-3),F2(0,3). y2 x2 设双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则有 10 4 ? ? 2 - 2=1, ?a b ∴a2=5,b2=4. 2 2 ? ?a +b =9. y2 x2 ∴所求的双曲线的方程为 5 - 4 =1.

(3)依题意,设所求的双曲线的方程为 x2 y2 - =1 (-4<k<16), 16-k 4+k 将(3 2,2)代入得 k=4. x2 y2 ∴所求的双曲线的方程为12- 8 =1.

典例探究学案

? 双曲线的定义
已知⊙C1 :(x +4)2 +y2 =1,⊙C2 :(x -4)2+y2 =25,动圆 M 与⊙C1 与⊙C2 均内切,求动圆的圆心 M 的轨迹 方程.

? [分析] 由内切两圆连心线的性质及同圆的半 径长相等可建立|MC1|与|MC2|的关系,再利 用定义求轨迹方程.

? [解析] 如图所示,设动圆M的半径为R,动 圆M与⊙C1,⊙C2分别内切于点A和B,

根据内切两圆的充要条件可得, |MC1|=|MA|-|AC1|=R- 1,|MC2|=|MB|-|BC2|=R-5, ∴|MC1|-|MC2|=4<8=|C1C2|, ∴点 M 的轨迹为以 C1、C2 为焦点的双曲线的右支,c=4, a=2,∴b2=c2-a2=12, x2 y2 ∴双曲线方程为 4 -12=1(x≥2).

? [方法规律总结] 1.判断椭圆焦点在哪个轴 上,看x2与y2项分母的大小,判断双曲线焦 点在哪个轴上,看x2与y2项的系数的正负. ? 2.求双曲线的标准方程一般用待定系数法, 特别的过两定点的双曲线方程可设为mx2+ ny2=1(mn<0). ? 3.用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清 是哪一支,还是全部曲线. ? 4.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求 解. ? 5.如果题设条件涉及动点到两定点的距离,

x2 y2 设点 P 是双曲线 9 -16=1 上任意一点,F1、F2 分别是左、 右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|=________.

? [答案] 4或16

? [解析] 由双曲线方程,得a=3,b=4,c= 5. ? 当点P在双曲线的左支上时,由双曲线定义, 得|PF2|-|PF1|=6,所以|PF2|=|PF1|+6= 10+6=16; ? 当点P在双曲线的右支上时,由双曲线定义, 得|PF1|-|PF2|=6,所以|PF2|=|PF1|-6= 10-6=4. ? 故|PF2|=4或|PF2|=16.

? [点评] 本题主要考查双曲线的定义,注意本 题中的点P既可能在双曲线的左支上,也可 能在双曲线的右支上,从而可得|PF2|有两个 值.但还要注意不能盲目地认为点P在任何 情况下都可能在双曲线的两支上,如本题中 若给定|PF1|=5,那么点P就只能在双曲线的 左支上了.

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

? 待定系数法求双曲线的标准方 程

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与 两焦点的距离之差的绝对值等于 8; (2)焦点在 x 轴上,经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2).

[分析] (1)依据双曲线的定义直接由条件求出 a、c,再求 b. x2 y2 (2)∵焦点在 x 轴上,故可设其标准方程为a2-b2=1(a>0, b>0),代入点的坐标,解方程组求出 a2、b2,也可以直接设方 程 Ax2+By2=1(A>0,B<0).

[解析] (1)由已知得,c=5,2a=8,即 a=4. ∵c2=a2+b2,∴b2=c2-a2=52-42=9. ∵焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴所求的双曲线标准方程是16- 9 =1.

(2)设双曲线方程为 mx2+ny2=1(m>0,n<0),则 1 ? ? ?m=8 ?16m+4n=1 ? ,∴? ? ?24m+8n=1 ?n=-1 4 ? x2 y2 ∴双曲线方程为 8 - 4 =1.



[方法规律总结] 骤如下:

利用待定系数法求双曲线标准方程的步

(1)定位置:根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,不能确定时应分类讨论. x2 y2 y2 x2 (2)设方程:根据焦点位置,设方程为a2-b2=1 或a2-b2= 1(a>0,b>0),焦点不定时,亦可设为 mx2+ny2=1(m· n<0); (3)寻关系: 根据已知条件列出关于 a、 b(或 m、 n)的方程组; (4)得方程:解方程组,将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求.

(1)焦点在 x 轴上,c= 6且经过点(-5,2)的双曲线的标准 方程为________. 9 (2)已知双曲线上两点 P1、P2 的坐标分别为(3,-4 2)、(4, 5),则双曲线的标准方程为________.

x2 2 y2 x2 [答案] (1) 5 -y =1 (2)16- 9 =1

[解析]

x2 y2 (1)设双曲线方程为a2-b2=1(a>0,b>0),由题意

25 4 ? ? 2 - 2=1, 得? a b 2 2 ? a + b =6. ? 解之得 a2=5,b2=1, x2 2 故所求双曲线方程为 5 -y =1.

(2)解法一:若曲线的焦点在 y 轴上,设所求双曲线的标准 y2 x2 方程为:a2-b2=1(a>0,b>0) ?32 9 ? a2 -b2=1, 依题意得? 81 ?25 2- 2=1. ? a 16b 32m-9n=1, ? ? 1 1 令 m=a2,n=b2,则方程组化为:? 81 25m-16n=1. ? ? 1 ? ?m=16, 解这个方程组得? ?n=1. 9 ?

即 a2=16,b2=9,所以所求双曲线的标准方程为 y2 x2 16- 9 =1. x2 y2 若焦点在 x 轴上,设所求双曲线方程为 a2-b2 =1(a>0 , b>0), ? 9 32 ?a2- b2 =1, 依题意得? ? 81 2-25 2 =1. ?16a b

此时无解.

y2 x2 综上所得,所求双曲线的标准方程为16- 9 =1.

解法二:设所求双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0), 1 ? 9 A - 32 B = 1 , ? ?A=-9, ? 依题意得?81 解得? 1 A - 25 B = 1. ? ? ?16 B=-16. ? x2 y2 y2 x2 故所求双曲线方程为- 9 +16=1 即16- 9 =1.

[点评]

(1)利用待定系数法求双曲线的方程,先定型,再

定量,不能确定焦点在哪个轴上时,可分类讨论,也可设方程 为 mx2+ny2=1(mn<0). x2 y2 x2 (2)与双曲线a2-b2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - a -k y2 =1(-b2<k<a2). 2 b +k

? 双曲线的实际应用
相距 2000m 的两个哨所 A、B,听到远处传来的 炮弹爆炸声.已知当时的声速是 330m/s,在 A 哨所听到爆炸声 的时间比在 B 哨所听到时间迟 4s,试判断爆炸点在什么样的曲 线上,并求出曲线的方程.

? [分析] 爆炸点与哨所A、B的“距离差”等 于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”, 且爆炸点距B哨所较近.

? [解析] 设爆炸点为P,由已知可得 ? |PA|-|PB|=330×4=1320>0. ? 因为|AB|=2000>1320,所以点P在以A、B 为焦点的双曲线的靠近B处的那一支上. ? 建立如图平面直角坐标系,使A、B两点在x 轴上,线段AB的中点为坐标原点.

由 2a=1320,2c=2000 得, a=660,c=1000,b2=c2-a2=564400. 因此,点 P 所在曲线的方程是 x2 y2 435600-564400=1(x>0).

? [方法规律总结] 解答实际应用问题时,要注 意先将实际问题数学化,条件中有两定点, 某点与这两定点的距离存在某种联系,解题 时先画出图形,分析其关系,看是否与椭圆、 双曲线的定义有关,再确定解题思路、步 骤.

? A、B、C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km,C在B正北偏西30°,相距4 km,P为 敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种 信号,由于B、C两地比A距P地远,因此经 过1s后,B、C才同时发现这一信号,此信号 的传播速度为4km/s,A若炮击P地,求A阵

地炮击的方向角. ? [分析] 点P到B、C距离相等,因此点P在线 段BC的垂直平分线上,又|PB|-|PA|=4, 因此P在以B、A为焦点的双曲线的右支 上.由交轨法可求P的坐标,进而求炮击的

[解析] 如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则

B(-3,0)、A(3,0)、C(-5,2 3). 因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.

因为 kBC=- 3,BC 中点 D(-4, 3),所以直线 1 PD:y- 3= (x+4). 3 x 2 y2 设 P(x,y),则双曲线方程为 4 - 5 =1(x≥0) 联立①、②式,得 x=8,y=5 3,所以 P(8,5 3). 因此 kPA= 3. 故 A 阵地炮击的方向角为北偏东 30° . ①

又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上. ②

? 焦点三角形问题
x2 y2 设双曲线 4 - 9 =1,F1、F2 是其两个焦点,点 P 在双曲线右支上. (1)若∠F1PF2=90° ,求△F1PF2 的面积; (2)若∠F1PF2=60° 时,△F1PF2 的面积是多少?若∠F1PF2 =120° 时,△F1PF2 的面积又是多少?
1 [分析] 由于三角形面积 S△F1PF2=2|PF1|· |PF2|· sinθ, 所以 只要求出|PF1|· |PF2|即可.因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1|· |PF2|.

[解析] (1)由双曲线方程知 a=2,b=3,c= 13, 设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),

如图所示.由双曲线定义,有 r1-r2=2a=4,
2 两边平方得 r2 + r 1 2-2r1r2=16.

∵∠F1PF2=90° ,
2 2 2 ∴r2 + r = 4 c = 4 × ( 13) =52. 1 2

∴2r1r2=52-16=36, 1 ∴S△F1PF2=2r1r2=9.

(2)若∠F1PF2=60° ,
2 在△ F1PF2 中,由余弦定理得 |F1F2|2 = r 2 1 + r 2 - 2r1r2cos60°

=(r1-r2)2+r1r2, 而 r1-r2=4,|F1F2|=2 13,∴r1r2=36. 1 1 3 于是 S△F1PF2=2r1r2sin60° =2×36× 2 =9 3. 同理可求得若∠F1PF2=120° 时,S△F1PF2=3 3.

? [方法规律总结] 双曲线的焦点三角形是常见 的命题着眼点,在焦点三角形中,正弦定理、 余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知 识点.另外,还经常结合|PF1|-|PF2|=2a, 运用平方的方法,建立它与|PF1|·|PF2|的联 系,请同学们多加注意.

x 2 y2 x2 y2 若双曲线m- n =1(m>0, n>0)和椭圆 a + b =1(a>b>0)有相 同的焦点 F1 , F2 , M 为两曲线的交点,则 |MF1|· |MF2| 等于 ________.

? [答案] a-m

[解析] 由双曲线及椭圆定义分别可得 |MF1|-|MF2|=± 2 m, |MF1|+|MF2|=2 a, ②2-①2 得,4|MF1|· |MF2|=4a-4m, ∴|MF1|· |MF2|=a-m. ① ②

注意参数取值范围对解题的影响 已知双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点为(0,3), 求 k 的值.
[错解] x2 y2 将双曲线方程化为标准方程 1 - 8 =1.因为焦点 k k
2

8 2 1 在 y 轴上,所以 a =k ,b =k ,所以 c= a2-b2= 7 7 即k =9,所以 k=9.

8 1 k -k =3,

[辨析] 上述解法有两处错误:一是 a2、b2 确定错误,应 8 1 2 该是 a =-k,b =-k ;二是 a、b、c 的关系式用错了.在双
2

曲线中应为 c2=a2+b2.
2 2 x y k [正解] 将双曲线方程化为 kx2-8y2=1,即 1 - 8 =1.因 k k

8 为一个焦点是(0,3),所以焦点在 y 轴上,所以 c=3,a =-k ,
2

1 8 1 9 2 2 2 b =- k,所以 a +b =-k -k =-k =c =9.所以 k=-1.
2

巩固提高学案
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