高中数学 3.2.1任意角的三角函数的定义(一)课件 湘教必修2


高中数学· 必修2· 湘教版

第3章

三角函数

3.2 任意角的三角函数
3.2.1 任意角的三角函数的定义(一)

预习导学

? [学习目标] ? 1.理解任意角的三角函数的定义. ? 2.掌握三角函数在各个象限的符号.

预习导学
? [知识链接] ? 在初中,我们已经学过锐角三角函数.如图, 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a , B对边为 b, C 对边 为c,锐角A的正弦,余弦,正切分别是什么?

a 答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为:sin A= c ,cos A= b a c,tan A=b.

预习导学
[预习导引] 1.三角函数的定义 (1)正弦、余弦、正切 如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0).定 y x y 义:sin α= r ,cos α= r ,tan α= x ,分别称为角 的正弦、余弦、正切.

预习导学

依照上述定义,对于每一个确定的角α,都分别有唯一确定的正 π 弦值、余弦值与之对应:当a≠2kπ± (k∈Z)时,它有唯一的正 2 切值与之对应,因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数, 分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数.

预习导学
(2)正割、余割、余切 1 r 1 r 角α的正割:sec α=cos α=x;角α的余割:csc α=sin α=y;角α 1 x 的余切:cot α=tan α=y. 这就是说,sec α,csc α,cot α分别是α的余弦、正弦和正切的倒 数. π 由上述定义可知,当α的终边在y轴上,即α=2kπ± 2 (k∈Z)时, tan α,sec α没有意义;当α的终边在x轴上,即α=kπ(k∈Z)时, cot α,csc α没有意义.

预习导学

2.三角函数在各个象限的符号

预习导学

? 3.三角函数的定义域
三角函数
sin α,cos α tan α,sec α cot α,csc α

定义域
R π {α|α≠kπ+2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}

课堂讲义

要点一 三角函数定义的应用 10 例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ= 10 x, 求sin θ,tan θ.
解 由题意知r=|OP|= x2+9, x x 由三角函数定义得cos θ=r = 2 . x +9 10 x 10 又∵cos θ= 10 x,∴ 2 = 10 x. x +9

课堂讲义

∵x≠0,∴x=± 1. 3 3 10 3 当x=1时,P(1,3),此时sin θ= 2 2= 10 ,tan θ=1=3. 1 +3 3 3 10 当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ= = ,tan 10 ?-1?2+32 3 θ= =-3. -1

课堂讲义

规律方法

在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到

角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点 b 的任意一点坐标(a,b),则对应角的正弦值为sin α= 2 2, a +b a b cos α= 2 2,tan α=a. a +b

课堂讲义

跟踪演练1

已知角α的终边在直线y=-3x上,

3 求10 sin α+cos α的值. 解 由题意知,cos α≠0.

设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k,r= k2+?-3k?2= 10|k|.

课堂讲义
(1)当k>0时,r= 10k,α是第四象限角, y -3k 3 10 sin α= = =- , r 10 10k 1 r 10k = = = 10, cos α x k
? 3 10? 3 ? ∴10sin α+ =10×? +3 10 - ? ? cos α 10 ? ?

=-3 10+3 10 =0.

课堂讲义
(2)当k<0时,r=- 10k,α为第二象限角, -3k y 3 10 sin α= = = , r - 10k 10 1 r 10k = =- =- 10, cos α x k 3 3 10 ∴10sin α+cos α=10× 10 +3×(- 10) =3 10-3 10 =0. 3 综上所述,10sin α+cos α=0.

课堂讲义 ? 要点二 三角函数值符号的判断 ? 例2 判断下列三角函数值的符号: ? (1)sin 3,cos 4,tan 5; ? (2)sin(cos θ)(θ为第二象限角).
解 π 3π (1)∵ <3<π<4< <5<2π, 2 2 ∴3,4,5分别在第二、三、四象限, ∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0.

课堂讲义
(2)∵θ是第二象限角, π ∴- <-1<cos θ<0, 2 ∴sin(cos θ)<0.

y x y 规律方法 由三角函数的定义知sin α= r ,cos α= r ,tan α= x (r>0),可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y) 的坐标确定的,则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函 数值符号的关键.

课堂讲义

? 跟踪演练2 若sin θ<0且tan θ<0,则θ是第____ 象限的角. ? 答案 四 ? 解析 ∵sin θ<0,∴θ是第三或第四象限或 终边在y轴的非正半轴上的角, ? 又tan θ<0,∴θ是第四象限的角.

课堂讲义

要点三 三角函数的定义域 例3 求下列函数的定义域: sin x+cos x (1)y= ; tanx (2)y= -cos x+ sin x.

课堂讲义

解 (1)要使函数有意义,须tan x≠0, π 所以x≠kπ+ ,k∈Z且x≠kπ,k∈Z, 2 kπ 所以x≠ 2 ,k∈Z.
? ? ? kπ ? ? 于是函数的定义域是 x x∈R,且x≠ 2 ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

课堂讲义
? ?-cos x≥0, (2)要使函数有意义,须? ? ?sin x≥0,

π 3π ? ?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 2 2 得? ? ?2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z. π 解之得2kπ+2≤x≤2kπ+π,k∈Z. 所以函数的定义域是
? ? ? π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+π,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

课堂讲义

?规律方法 求函数定义域使式子有意义的情况 一般有以下几种:①分母不为零,②偶次根号 下大于等于零,③在真数位置时大于零,④在 底数位置时大于零且不等于1.

课堂讲义

1 跟踪演练3 求函数y=tan x+sin x的定义域.
π π ? ? ?x≠kπ+ ?k∈Z?, ?x≠kπ+ ?k∈Z?, 2 2 解 由? 得? 因而x的 ? ? ?sin x≠0, ?x≠kπ?k∈Z?, 终边不在坐标轴上,所以函数的定义域为
? ? ? ? ?

x

? ? ? ?

? kπ ? x≠ 2 ,k∈Z?. ? ?

当堂检测

? 1.sin(-270°)的值为 ( ) ? A.-1 B.1 ? C.0 D.不存在 ? 解析 答案 B -270° 的终边落在y轴正半轴,设P(x,y)为-270° 任
y 一点,则x=0,y=r,∴sin(-270° )=r=1.

当堂检测
2.如果角α的终边过点P(2sin 30° ,-2cos 30° ),则cos α的值等 于 1 A. 2 3 C.- 2 1 B.- 2 3 D. 2 ( )

答案 A
解析 2sin 30° =1,-2cos 30° =- 3, 1 ∴r=2,∴cos α=2.

当堂检测
3 3.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=5,则 tan α= 3 A.-4
答案 D

( 3 B.4 4 C.3 4 D.-3

)

3 3 解析 ∵cos α= 2 2= ,∴ 32+y2=5, 3 +y 5 ∴y2=16, 4 ∵y<0,∴y=-4,∴tan α=- . 3

当堂检测

? 4.如果sin x=|sin x|,那么角x的取值集合是 ________. ? 答案 {x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}

当堂检测

? 1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实 数的大小和点 P(x , y) 在终边上的位置无关, 只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大 小只与角有关. ? 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的 符号规律解题,并且注意掌握解题时必要的 分类讨论及三角函数值符号的正确选取. ? 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.


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