高中数学 3.2.1任意角三角函数的定义(二)课件 湘教必修2


高中数学· 必修2· 湘教版

第3章

三角函数

3.2 任意角的三角函数
3.2.1 任意角三角函数的定义(二)

预习导学

? [学习目标] ? 1 .了解三角函数线的意义,能用三角函数线表 示一个角的正弦、余弦和正切. ? 2 .能利用三角函数线解决一些简单的三角函数 问题.

预习导学
? [知识链接] ? 1.什么叫做单位圆? ? 答 以坐标原点为圆心,以单位长度1为半径画一 个圆,这个圆就叫做单位圆(注意:这个单位长度不一 定就是1厘米或1米). ? 2.带有方向的线段叫 .有向线段的 大小称为它 有向线段 ? 的 . 数量 ? 在坐标系中,规定:有向线段的方向与坐标系 ? 的 .即同向时, ;反向 时, .
方向相同 数量为正 数量为负

预习导学
? [预习导引] ? 1.三角函数的定义域 ? 正弦函数y=sin x的定义域是 ;余弦函数y=cos x 的定义域 R π 域 ? 是 R ; 正 切 函 数 y = tan x 的 定 义 {x|x∈R,且x≠kπ+2, 是 . ? k∈Z} .

预习导学
? 2.三角函数线 ? 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于 ? P点.过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过A作单位圆的切 ? 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点.单位圆中的有向线 ? 段 、 、 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切 ? 线.记作:sin α= ,cos α= ,tan α= .

MP

OM

AT MP OM AT

预习导学

课堂讲义

要点一 例1

利用三角函数线比较大小

2π 4π 分别作出 3 和 5 的正弦线、余弦线和正切线,并比较

2π 4π 2π 4π 2π 4π sin 3 和sin 5 ,cos 3 和cos 5 ,tan 3 和tan 5 的大小.

课堂讲义
2π 2π 2π 4π 解 如图,sin 3 =MP,cos 3 =OM,tan 3 =AT,sin 5 = 4π 4π M′P′,cos 5 =OM′,tan 5 =AT′.

课堂讲义
显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, 2π 4π ∴sin 3 >sin 5 ; 2π 4π |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos 3 >cos 5 ; 2π 4π |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan <tan . 3 5

?规律方法 利用三角函数线比较三角函数值的 大小时,一般分三步:①角的位置要 “ 对号入 座 ” ;②比较三角函数线的长度;③确定有向 线段的正负.

课堂讲义 ?跟踪演练1 比较sin 1 155°与sin(-1 654°)的 大小. ?解 先把两角化成 0°~360°间的角的三角函 数. ?sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, ?sin( - 1 654°) = sin( - 5×360°+ 146°) = sin 146°. ?在单位圆中,分别作出sin 75°和sin 146°的正 弦线M2P2,M1P1(如图). ?∵M1P1<M2P2,

课堂讲义

要点二 利用三角函数线解不等式 例2 利用单位圆中的三角函数线,分别确定角θ的取值范围. 3 1 3 (1)sin θ≥ 2 ;(2)-2≤cos θ< 2 .

课堂讲义
解 (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即
? ? ? π 2π ?θ?2kπ+ ≤θ≤2kπ+ ,k∈Z 3 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围,即
? ? ? 2 π π 2 ?θ?2kπ- π≤θ<2kπ- ,或2kπ+ <θ≤2kπ+ π,k∈Z 3 6 6 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

课堂讲义

?规律方法 用单位圆中的三角函数线求解简单 的三角不等式,应注意以下两点: ?(1) 先找到 “ 正值 ” 区间,即 0 ~ 2π 间满足条件 的角θ的范围,然后再加上2kπ(k∈Z); ?(2)注意区间是开区间还是闭区间.

课堂讲义 ? 跟踪演练2 已知点P(sin α-cos α,tan α)在第 一象限, ? 若α∈[0,2π),求α的取值范围.
解 ∵点P在第一象限内,
? ?sin α-cos ∴? ? ?tan α>0,

α>0,

? ?sin α>cos ∴? ? ?tan α>0.

α,

结合单位圆(如图所示)中三角函数线及 π π 5π 0≤α<2π.可知4<α<2或π<α< 4 .

课堂讲义
要点三 例3 利用三角函数线求定义域
? x+ln? ?sin ?

求函数f(x)= 1-2cos

2? ? x- ?的定义域. 2?

解 由题意,自变量x应满足不等式组 ?1-2cos x≥0, ? ? 2 sin x- >0. ? 2 ? 1 ? ?cos x≤2, 即? ?sin x> 2. 2 ?

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
? ? π 3 ? ? ? ∴ x|2kπ+3≤x<2kπ+4π,k∈Z?. ? ? ? ?

课堂讲义

?规律方法 求三角函数定义域时,一般应转化 为求不等式(组)的解的问题.利用数轴或三角函 数线是解三角不等式常用的方法.解多个三角 不等式时,先在单位圆中作出使每个不等式成 立的角的范围,再取公共部分.

课堂讲义 ? 跟踪演练 3 求函数 f(x) = lg(3 - 4sin2x) 的定义 域. 解 ∵3-4sin2x>0,
3 ∴sin x< , 4
2

3 3 ∴- 2 <sin x< 2 . 如图所示.
? π π? ? 2π 4π? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?∪?2kπ+ 3 ,2kπ+ 3 ? ? ? ? ? ? π π? 即x∈?kπ-3,kπ+3? ? ?

(k∈Z),

(k∈Z).

当堂检测

1.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相 异,那么α的值为 π A. 4 3π B. 4 7π C. 4 3π 7π D. 或 4 4 ( )

答案 D

当堂检测

? 2. 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完 全正确的是( ) ? A.正弦线PM,正切线A′T′ ? B.正弦线MP,正切线A′T′ ? C.正弦线MP,正切线AT ? 答案D.正弦线 PM,正切线AT C

当堂检测

1 3.在[0,2π]上,满足sin x≥ 的x的取值范围为 2
? π? A.?0,6? ? ? ?π 2π? C.?6, 3 ? ? ? ?π 5π? B.?6, 6 ? ? ? ?5π ? D.? 6 ,π? ? ?

(

)

答案 B

当堂检测

4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接): 2 3 (1)sin 3π________sin 4π; 2 3 (2)cos 3π________cos 4π; 2 3 (3)tan π________tan π. 3 4

答案 (1)> (2)> (3)<

当堂检测

? 1.三角函数线的意义 ? 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向 线段的长度和方向表示三角函数的值,三角 函数线的长度等于三角函数值的绝对值,方 向表示三角函数值的正负.具体地说,正弦 线、正切线的方向同纵坐标轴一致,向上为 正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴一 致,向右为正,向左为负.三角函数线将抽 象的数用几何图形表示出来了,使得问题更 形象直观,为从几何途径解决问题提供了方

当堂检测

? 2.三角函数线的画法 ? 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、 正切线,同时也给出了角 α的三角函数线的画 法即先找到 P 、 M 、 T 点,再画出 MP 、 OM 、 AT. ? 注意三角函数线是有向线段,要分清始点 和终点,字母的书写顺序不能颠倒. ? 3.三角函数线是三角函数的几何表示,它直 观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的 定义结合起来,可以从数与形两方面认识三 角函数的定义,并使得对三角函数的定义域、 函数值符号的变化规律、公式一的理解容易


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