高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用课时提升作业21_1


椭圆方程及性质的应用 一、选择题(每小 题 5 分,共 25 分) 1.(2016·聊城高二检测)过椭圆 x +2y =4 的左焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 的长为 A. B. + C. =1, D. 2 2 ( ) 【解析】选 B.椭圆的方程可化为 所以 F(,0). , x+ 2 又因为直线 AB 的斜率为 所以直线 AB 的方程为 y= . 由 得 7x +12 x+8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=x1·x2= , 所以|AB|= 2.AB 为过椭圆 A.b 2 , = + . ) =1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB 面积的最大值为 ( C.ac D.bc B.ab 【解析】选 D .由 AB 过椭圆中心,则 yA+yB=0, 故 S△AFB= (yA-yB)·c= |2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当 AB 为 y 轴时面积最大. 3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆 A.x-2y=0 C.2x+3y-12=0 + =1 的弦被点(4,2)平分 ,则这条弦所在的直线方程是 ( ) B.x+2y-4=0 D.x+2y- 8=0 【解析】选 D.设这条弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 两式相减再变形得 +k =0. -1- 又弦中点为(4,2),故 k=- , 故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4), 整理得 x+2y-8=0. 4.(2016·衡水高二检测)如果 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB·kOM 的值 为 ( ) B.1-e C.e -1 2 A.e-1 D.1-e 2 【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 由点差法, + =1, = 所以 kAB·kOM= 【补偿训练】椭圆 为 A. ( ) B. C. D.· + == + =1,作差得 , =e -1. 2 =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率 【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 ①-②得 + 又因为弦中点为 M(-1,2), 所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以 所以 k= = + . =0, =0, 5.(2016·郑州高二检测)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程 上且离心率小于 A. 的椭圆的概率为 ( B. C. ) D. + =1 表示焦点在 x 轴 -2- 【解析】选 B.因为 所以 a>b>0,a<2b, + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆, 它对应的平面区域如图中阴影部分所示: 则方程 + =1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭 圆的概率为 P= = = . 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016· 南昌高二检测)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 所以椭圆方程为 答案: + =1 + =1 上有 n 个不同的点 P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为 F,数列{|PnF|} . 的等差数 + =1. , + =1(a>b>0).因为 e= . ,所以 = .根据△ABF2 的周 . 7.(2016·沈阳高二检测)椭圆 是公差大于 的等差数列,则 n 的最大值为 【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于 列,可求出 n 的最大值. 【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3, |PnF|=|P1F|+(n-1)d. 若 d= ,n=201,d> ,n<201. -3- 答案:200 8.(2016·长春高二检测)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连 . 接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点 A(或 B)到右焦点的距离,进而求 得 a,c. 【解析】在△ABF 中,由余弦定理得|AF| =|AB| +|BF| -2|AB||BF|cos∠ABF, 又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 解得|AF|=6.在△ABF 中,|AB| =10 =8 +6 =|BF| +|AF| ,故△ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为 F′,连接 AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形 AFBF′为矩形, 则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8, 即焦距 2c=10, 又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a, 所以 2a=|AF|+|AF′|=6+8=14. 故离心率 e= = 答案: 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,(1)求 C 的方程. (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多少. ),(0, )为焦点,长半轴长为 2 的椭 ),(0, )的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C. = . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】(1)设 P(x,y),由椭圆的 定义知,点 P 的轨迹

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