1.1.2棱柱、棱锥和棱台结构特征二_图文


1.1.2 棱锥和棱台的结构特征

一、复习回顾
棱柱

(1)

(2)

(3)

(4)

这些多面体是棱柱。是多面体集合的子集
有两个互相平行的面,底面是全等的多边形, 且对应的边互相平行,侧面都是平行四边形.

二、概念形成
概念1.棱锥
从运动的观点来观察,棱锥可以看成一个棱柱的一 个底面变成一个点所形成的几何体。

二、概念形成
概念1.棱锥
有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点 的三角形由这些面所围成的多面体.

请同学们仔细观察下面的几何体,它们有哪些共同 的特点?
S

F A B

E D C

二、概念形成
概念2.棱锥的相关概念

S

棱锥的顶点
( 除三棱锥以外是唯一的)

棱锥的侧棱 棱锥的高
(顶点到底面的距离)

D E A O B

棱锥的侧面

C
棱锥的底面

观察下面的几何体,哪些是棱锥?

说明:棱锥有两个本质的特征: ①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶点的三角形, !二者缺一不可!

三、棱锥的表示方法
1 .用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥

如:三棱锥P-ABC,四棱锥S-ABCD (常用)
2 .用对角面表示:

如四棱锥可以用P-AC表示(少用)

四、棱锥的分类
按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥,…… (其中三棱锥又叫四面体) 如果底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且 与底面垂直的直线上,这样的棱锥叫做正棱锥。
S

F A B

E D C

三棱锥

四棱锥

正五棱锥

正六棱锥

(四面体)

五、正棱锥的性质
概念3:如果底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与 底面垂直的直线上,这样的棱锥叫做正棱锥。 性质: 1、正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形 2、等腰三角形底边上的高都相等,

这些等腰三角形底边上的高也叫棱锥的斜高。
S
斜高

斜高

E A
B O C D

M

思考题1:棱锥和正棱锥的底面、侧面、 在底面的投影各有什么特点? V

顶点

M A B 1. 棱锥的底面为任意多边形。正棱锥的底面为 正多边形。 2. 棱锥的侧面为三角形。正棱锥的各个侧面为 全等的等腰三角形。 3. 正棱锥的顶点在底面投影是底面正多边形的 中心。

D

O

C

思考题2: 一个棱锥至少有几个侧面? 一个N棱锥有多少个底面和侧面?

有多少条侧棱?有多少个顶点?

六、棱台
概念4.棱台及其相关概念

棱锥

棱台

棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后, 截面和底面之间的部分.

六、棱台
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面; 其它各面叫做棱台的侧面; 相邻两个侧面的公共边叫做棱台的侧棱; 上底面

两个底面之间的距离叫做棱台的高。

侧棱 侧面 高 顶点

棱台的符号表示:棱台

ABC ? A ' B ' C '

下底面

七、棱台的性质
1、上下两个底面平行且相似 2、所有侧棱延长后可交于一点

判断下列几何体是不是棱台,并说明为什么.

八、棱台的分类
按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台 等;

正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
斜高

正四棱锥

正四棱台

九、正棱台的性质
(1)各侧棱相等; (2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形; (3)正棱台的斜高相等。

应用举例
1.如图长方体ABCD-A’B’C’D’中,过BC的截面截去长方体 的一角,截去的几何体是什么?剩下的几何体是什么? 并说出它们的名称.

D?
A? A E

F
B?

C? D? C A?

D F

C

A

D B

B

E

应用举例
2.已知正四棱锥V-ABCD,底面面积为16,一条侧棱

长为 2 11 ,计算它的高和斜高。 V

D O A B M

C

应用举例
3.设正三棱台的上下底面的边长分别为2cm和5cm,

侧棱长为5cm,求这个棱台的高。

B'
O'

A' A

C'
B
O
M

C

应用举例
4.(1)过正方体三个顶点的截面截得一个正三棱锥,

若正方体棱长为 a,则截得的正三棱锥的高为
(2)过正方体四个顶点的截面截得一个正四面体, 若正方体棱长为 a,则截得的正四面体的高为

3 。 a 3 15 a。 3

5.正四面体棱长为 a,M,N为其两条相对棱的中点, 则MN的长是

2 a 2



课堂小结
一 棱锥、棱台的定义及相关概念 二 棱锥、棱台的分类、命名和记法 三 正棱锥的概念和性质 四 正棱锥中直角三角形与勾股定理 的应用


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