【导与练】2016届高考数学一轮复习 第5篇 第3节 等比数列课件 文 新人教版_图文


第 3 节 等比数列 基础梳理 考点突破 基础梳理 知识整合 1.等比数列的相关概念 抓主干 固双基 (1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个 常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q(q≠0)表示. an ? q ? n ? 2? ,q 为常数. 符号表示为 an ?1 (2)等比中项 如果三个数 a、G、b 成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等 G b 2 比中项,那么 = ,即 G =ab. a G 质疑探究:b =ac 是 a、b、c 成等比数列的什么条件? 提示:必要而不充分条件,因为 b =ac 时,不一定有 a、 b、 c 成等比数列(如 a=0,b=0,c=1),而 a、b、c 成等比数 列,则必有 b2=ac. 2 2 2.等比数列的通项公式 (1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,q≠0,则它 n-1 的通项公式 an=a1q . (2)通项公式的推广 n-m an=am·q . 3.等比数列的前 n 项和公式 (1)公式的推导方法 推导等比数列{an}的前 n 项和公式的方法是错位相 减法. (2)公式 ?na1 ? q ? 1? , ? ? Sn= ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q n ? 1 ? q ? 1? . ? 1? q ? ? 1? q 4.等比数列的常见性质 (1)在等比数列{an}中,若 m+n=p+q=2k(m、n、p、q、k∈N*), 则 am·an=ap·aq= a k2 ; (2)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}, ?1? ? ? an ? ? ? ? 2 ? ? ,{ a n },{an·bn}, ? ? (λ ≠0)仍然是等比数列; ? ? ? an ? ? ? bn ? ? (3)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构 成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比 数列,公比为 q ; (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 q , 当公比为-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 不一定构成等比 数列. n k 双基自测 1.(2012 年高考安徽卷)公比为 2 的等比数列{an}的各项都 是正数,且 a3a11=16,则 a5 等于( A (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 解析:∵a3a11=16,∴ a 72 =16, 又 an>0,∴a7=4, a7 又公比为 2,∴a5= 2 =1. q ) 故选 A. 2.已知数列{an}是公比 q≠±1 的等比数列,则在 ? ? an ? ? {an+an+1},{an+1-an}, ? ? ,{nan}这四个数列中,是等比数列 ? ? a n ?1 ? ? 的有( (A)1 个 C ) (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 解析:若{an}是公比 q≠±1 的等比数列, ? ? an ? ? 则{an+an+1},{an+1-an}, ? ? 是等比数列, ? ? a n ?1 ? ? 而{nan}不是等比数列. 故选 C. 3.(2013 年高考新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于( (A) 1 3 C 1 9 ) (B)- 1 3 (C) 1 9 (D)- 解析:∵S3=a1+a2+a3=a2+10a1,∴a3=9a1, ∴q2= a3 =9, a1 又∵a5=9, ∴a1q4=9, 9 1 ∴a1= 2 = .故选 C. 9 9 4.(2014 惠州市高三第一次调研)在数列{an}中,a1=1,公 比 q=2,则 a4 的值为 答案:8 . 3 解析:数列{an}为 a1=1,q=2 的等比数列,a4=a1q =8. 考点突破 剖典例 知规律 考点一 等比数列的基本运算 【例 1】 (1)(2013 山东省师大附中模拟)已知{an}为等比 数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7 ) (2)(2013 广州市高三六校第四次联考)记等比数列{an}的 1 前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S2=2,则 S4=( 2 ) (A)2 (B)6 (C)16 (D)20 思维导引:由条件列出关于 a1,q 的方程(组)求解. 解析:(1)在等比数列中,a5a6=a4a7=-8, 所以公比 q<0,又 a4+a7=2, ?a4 ? ?2, ?a4 ? 4, 解得 ? 或? ?a7 ? 4 ?a7 ? ?2, ? ?a4 ? ?2, ?a1 ? 1, 由? 解得 ? 3 ? ?q ? ?2, ?a7 ? 4, 此时 a1+a10=a1+a1q =1+(-2) =-7. 9 3 ?a1 ? ?8, a ? 4, ? ? 由? 4 解得 ? 3 1 q ? ? , ?a7 ? ?2, ? 2 ? 此时 a1+a10=a1+a1q9=a1(1+q9)=-8(1- 1 )=-7,综上 a1+a10=-7.故选 D. 8 1 1 ? q2 ? ? (2)由题知 q≠1,则 S2= 2 =2? 1+q=4? q=3, 1? q 1 1 4 1 ? q 1 ? q2 ? ? ? ? S4= 2 =2 ·(1+q2)=2×10=20.故选 D. 1? q 1? q 反思归纳 (1)等比数列{an}中有两个基本量 a1 和 q,在解决等比数列的有关计算问题时,可 以将条件转化为有关两者的方程(组)求解,这 是解决等比数列问题的基本方法,这也是方程 思想在数列问题中的体现. (2)应用前 n 项和公式时,应根据

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