2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习:第二章 第九节 函数与方程 Word版含解析


一、填空题 1 1.设 y=x3 与 y=(2)x-2 的图象的交点为(x0,y0),若 x0 所在的区间是 (n,n+1)(n∈Z),则 n=________. 1 解析:作出 y=x3 与 y=(2)x-2 的图象观察可知 1<x0<2.故 n=1. 答案:1 2.已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的曲线,且有如下的对应值: x y 1 124.4 2 35 3 -74 4 14.5 5 -56.7 6 -123.6 则函数 y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有________个. 解析:依题意,f(2)· f(3)<0,f(3)· f(4)<0,f(4)· f(5)<0,故函数 y=f(x)在区间[1,6] 上的零点至少有 3 个. 答案:3 1 3.设函数 f(x)=3x-ln x(x>0),有下列命题: 1 ①在区间(e ,1),(1,e)内均有零点; 1 ②在区间(e ,1),(1,e)内均无零点; 1 ③在区间(e ,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点; 1 ④在区间(e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. 正确命题的序号是________. 1 1 解析:f′(x)=3- x,易知 f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴f(x) 1 1 1 1 e 在(e ,e)上单调递减,又 f(e)=3e+1>0,f(1)=3-0>0,f(e)=3-1<0, 1 ∴f(1)· f(e)<0,f( e)· f(1)>0. 1 ∴f (x)在区间(e ,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点. 答案:④ 4. 若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 1, 则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是________. 解析:由题意知 ax+b=0(a≠0)的解为 x=1,∴b=-a, ∴g(x)=-ax2-ax=-ax(x+1), 由 g(x)=0 得 x=0 或 x=-1. 答案:0 或-1 5.若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范 围是________. 5 解析:设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(1)<0,即 1-2m+4<0?m>2. 5 答案:m>2 20 6.若函数 f(x)=x3-ax2(a>0)在区间( 3 ,+∞)上是单调增函数,则使方程 f(x)= 1 000 有整数解的实数 a 的个数是________. 解析:令 f′(x)=3x2-2ax>0, 2a 则 x> 3 或 x<0. 20 20 2a 由 f(x)在区间( 3 , +∞)上是单调增函数知( 3 , +∞)?( 3 , +∞), 1 000 1 000 从而 a∈(0,10].由 f(x)=1 000 得 a=x- x2 ,令 g(x)=x- x2 ,则 g(x)在(0, +∞)上单调递增,且与 x 轴交于点(10,0),在同一直角坐标系中作出函数 g(x)与 y=a(0<a≤10)的大致图象(如图所示).当 a=10 时,由 f(x)=1 000 得 x3-10x2 -1 000=0.令 h(x)=x3-10x2-1 000,因为 h(14)=-216<0,h(15)=125>0,所 以方程 x3-10x2-1 000=0 在区间(14,15)上存在根 x0,因此从图象可以看出在 (10,x0]之间 f(x)=1 000 共有 4 个整数解. 答案:4 2 7.函数 f(x)=ln(x+1)- x的零点所在的区间是(n,n+1),则正整数 n=________. 2 解析:设 x0 是函数 f(x)=ln(x+1)- x的零点,而 f(1)<0,f(2)>0, ∴x0 所在的区间是(1,2),∴n=1. 答案:1 8.已知 f(x)=2x,g(x)=3-x2,则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数是________. 解析:在同一坐标系内作出函数 f(x)=2x 与 g(x)=3-x2 的图象,两图象有两个交 点,故函数 y=f(x)-g(x)有两个零点. 答案:2 9.若函数 f(x)=x2· lg a-2x+2 在区间(1,2)内有且只有一个零点,那么实数 a 的 取值范围是________. 解析:由题意可知,f(1)f(2)<0,即(2lg a-1)lg a<0,解得 1<a< 10. 答案:(1, 10) 二、解答题 10.若关于 x 的方程 3x2-5x+a=0 的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内, 求 a 的取值范围. 解析:设 f(x)=3x2-5x+a, 则 f(x)为开口向上的抛物线(如图所示). ∵f(x)=0 的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内, ?f?-2?>0, ?f?0?<0, ∴? f?1?<0, ? ?f?3?>0, ? ?a<0, 即? 3-5+a<0, ? ?3×9-5×3+a>0, 解得-12<a<0. 3×?-2?2-5×?-2?+a>0, ∴所求 a 的取值范围是(-12,0). 11. 已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少存在一个 实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围. 解析:二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0 的否定是对 于区间[-1,1]内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, ? ?f?1?≤0, ∴? ? ?f?-1?≤0, 2 ? ?4-2?p-2?-2p -p+1≤0, 即? 2 ? ?4+2?p-2?-2p -p+1≤0, 2 ? ?2p +3p-9≥0, 整理得? 2 ? ?2p -p-1≥0, 3 解得 p≥2或 p≤-3, ∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围 3 是(-3, 2). 12.已知二次函数 y=g(x)的导函数的图象与直线 y=

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