高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质课时提升作业21_1


椭圆的简单几何性质 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015·广东高考)已知椭圆 A.9 B.4 2 2 + =1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ( C.3 D.2 ) 【解析】选 C.由题意得:m =25-4 =9, 因为 m>0,所以 m=3. 2.(2016·烟台高二检测)椭圆 A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 【解析】选 B.对于椭圆 c =(25-k)-( 9-k)=16, 焦点在 y 轴上,所以它们有相等的焦距. 【补偿训练】将椭圆 C1∶2x +y =4 上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆 C2,则 C2 与 C1 有 ( A.相等的短轴长 C.相等的离心率 ) B.相等的焦距 D.相等的长轴长 2 2 2 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为 ( ) B.有相等的焦距 D.有相等 的离心率 + =1(0<k<9), 【解析】选 C.把 C1 的方程化为标准方程,即 C1: + =1,从而得 C2: +y =1. 2 因此 C1 的长轴在 y 轴上,C2 的长轴在 x 轴上. e1= =e2,故离心率相等. + =1.而错选 A. 【误区警示】解答本题时容易得到 C2: 3.已知椭圆 是 ( ) ,0) ,0) B.(0,± D.(0,± + =1(a>b>0)有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则此椭圆的焦点坐标 A.(± C.(± ) ) -1- 【解析】选 A.直线 x+2y=2 与坐标轴的交点为椭圆的顶点, 又因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以 a=2,b=1, 所以 c= = . ,0). + =1(a>b>0) 的左、右顶点分别是 A,B, 左、右焦点分别是 F1,F2. 若 ) -2 所以椭圆的焦点坐标是(± 4.(2016 ·南昌高二检测 ) 椭圆 |AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( A. B. C. D. 【解析】选 B.因为 A,B 分别为左右顶点,F1,F2 分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由 |AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c ,即 a =5c ,所以离心率 e= 2 2 2 . 【补偿训练】 设椭圆的两个焦点分别为 F1,F2,过 F1 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三 角形,则椭圆的离心率为 ( ) A. B. + C.2=1(a>b>0), D. -1 【解析】选 D.设椭圆方程为 因为 F1(-c,0),所以 P(-c,yP)代入椭圆方程得 + =1,所以 2 2 2 = , =2c,所以 e +2e-1=0,又 0<e<1,所以 e= 2 又因为 b =a -c ,所以 5.设 AB 是椭圆 + -1. =1(a>b>0)的长轴,若把线段 AB 分为 100 等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别交椭圆的 ) 上 半部分于点 P1,P2,…,P99,F1 为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是 ( A.98a B.99a C.100a D.101a 【解析】选 D.设 F2 为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性 有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|, 因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a. 故结果应为 50×2a+|F1P50|=101a. -2- 【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选 C 而致错. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆方 程为 . 【解析】因为椭圆的焦点在 y 轴上, 所以设椭圆的方程为 + =1(a>b>0). 由 2 2 2 得 2 由 a =b +c ,得 b =32. 故椭圆的方程为 答案: + =1 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为 . + =1. 7.(2016·济南高二检测)已知椭圆 【解析】由椭圆的标准方程,易知 m>0 且 m≠5. ①若 0<m<5,则 a =5,b =m. 2 2 由 =12 = ,得 m=3. 2 ②若 m>5,则 a =m,b =5. 由 =1- = ,得 m= . . 所以 m 的值为 3 或 答案:3 或 8.若点 O 和点 F 分别为椭圆 为 . + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 · 的最大值 【解题指南】设 P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 =(x0+1,y0), =(x0,y0),所以 · + =1,解得 =3 ,因为 =x0(x0+1)+ =x0(x0+1)+ -3- 3 时, 答案:6 · = +x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 取得最大值 +2+3=6. 【误区警示】解题中容易不考虑 x0 的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误. 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半 轴长的 ,求椭圆的离心率. 【解析】设椭圆方程为 + =1(a>b>0),则 M(c, b). + . =1,所以 = , 代入椭圆方程,得 所以 = ,即 e= 【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长

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