【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 第2课时 Word版含答案


第二章 2.3 2.3.2 第 2 课时 一、选择题 y2 1.(2015· 贵州安顺高二检测)已知双曲线方程为 x2- =1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只 4 有一个公共点,则 l 的条数为 导学号 33780504 ( A.4 C .2 [答案] B [解析] 由双曲线的方程知,点 P(1,0)为双曲线的一个顶点,过点 P(1,0)有一条直线 l 与 双曲线相切,有两条直线与渐近线平行,这三条直线与双曲线只有一个公共点. y2 2.(2016· 山东济宁高二检测)直线 l 经过 P(1,1)且与双曲线 x2- =1 交于 A、B 两点,如 2 果点 P 是线段 AB 的中点,那么直线 l 的方程为 导学号 33780505 ( A.2x-y-1=0 C.x-2y+1=0 [答案] D [解析] 当斜率不存在时,方程为 x=1,与双曲线相切不符合题意,当斜率存在时,设 B.2x+y-3=0 D.不存在 ) B .3 D.1 ) A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得 ? ? y ?x - 2 =1, 2 2 2 2 y2 1 x2 - =1. 1 2 1 2 2 2 两式相减的 x2 1-x2= (y1-y2),整理 2 求出 k=2,则直线方程为 y=2x-1,联立直线方程与双曲线方程后检验 Δ<0,方程无解,所 以不存在. 3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 导学号 33780506 ( A.(- C.(- 15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3 ) B.(0, D.(- 15 ) 3 15 ,-1) 3 [答案] D [思路分析] 直线与双曲线右支交于不同两点,则由直线与双曲线消去 y 得到的方程组应 有两正根,从而 Δ>0,x1+x2>0,x1x2>0,二次项系数≠0. ? ?y=kx+2 [解析] 由? 2 2 ,得(1-k2)x2-4kx-10=0. ?x -y =6 ? ? 16k +40?1-k ?>0 ?Δ = 4k 由题意,得? >0 1-k ? >0 ?k 10 -1 2 2 2 2 1-k2≠0 ,解得- 15 <k<-1. 3 4 .若 ab≠0 ,则 ax - y + b = 0 和 bx2 + ay2 = ab 所表示的曲线只可能是下图中的 导学号 33780507 ( ) [答案] C x2 y2 [解析] 方程可化为 y=ax+b 和 + =1.从 B,D 中的两椭圆看 a,b∈(0,+∞),但 B a b 中直线有 a<0,b<0 矛盾,应排除;D 中直线有 a<0,b>0 矛盾,应排除;再看 A 中双曲线的 a<0,b>0,但直线有 a>0,b>0,也矛盾,应排除;C 中双曲线的 a>0,b<0 和直线中 a、b 一 致.应选 C. x2 y2 5.(2016· 浙江杭州高三模拟)设离心率为 e 的双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 a b F ,直线 l 过点 F 且斜率为 k ,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支相交的充要条件是 导学号 33780508 ( A.k2-e2>1 C.e2-k2>1 [答案] C b b [解析] 直线 l 与双曲线 C 的左、 右两支相交的充要条件是直线 l 的斜率- <k< , 两边平 a a 2 2 b2 c -a 方得,k2< 2= 2 =e2-1,即 e2-k2>1. a a ) B.k2-e2<1 D.e2-k2<1 x2 y2 6.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1、F2 分别 a 9 是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3,则|PF2|= 导学号 33780509 ( A.1 或 5 C .7 B .6 D.9 ) [答案] C [解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0, b 3 ∴ = ,∵b=3,∴a=2. a 2 又||PF1|-|PF2||=2a=4, ∴|3-|PF2||=4. ∴|PF2|=7 或|PF2|=-1(舍去). 二、填空题 y2 7.已知直线 l:x-y+m=0 与双曲线 x2- =1 交于不同的两点 A、B,若线段 AB 的中 2 点在圆 x2+y2=5 上,则 m 的值是________. 导学号 33780510 [答案] ± 1 x-y+m=0 ? ? [解析] 由? 2 y2 ,消去 y 得 x2-2mx-m2-2=0.Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0. ? ?x - 2 =1 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,∴线段 AB 的中点坐标为(m,2m),又∵点(m,2m) 在圆 x2+y2=5 上,∴5m2=5,∴m=± 1. x2 y2 8.(2016· 安徽合肥高二检测)过双曲线 - =1 的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长 20 5 为 5,这样的直线有________条. 导学号 33780511 [答案] 1 x2 y2 [解析] 依题意得右焦点 F(5,0),所以过 F 且垂直 x 轴的直线是 x=5,代入 - =1,得 20 5 5 5 y=± ,所以此时弦长为 ×2= 5. 2 2 当不垂直于 x 轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比 5长.因为两顶点间 距离为 4 5, 即左右两支上的点的最短距离是 4 5, 所以如果交于两支的话, 弦长不可能为 5, 故只有一条. 三、解答题 x2 y2 9.(2015· 福建八县一中高二期末测试)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 4, a b 且过点(-3,2 6). 导学号 33780512 (1)求双曲线方程和其渐近线方程; (2)若直线 l:y=kx+2 与双曲线 C 有且只有一个公共点,求实数 k 的

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