2013高考数学一轮同步训练(文科) 8.2直线方程


第二节

直线方程

强化训练当堂巩固
1.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 答案:D 解析:直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 x ? a ? 2 ? y ? a ? 2? )

a

由题意知 a ? 2 ? a ? 2? 解得 a=1 或 a=-2,故选 D.

a

2.已知 A(-1,1) ? B (3?1)? C (1? 3)? 则? ABC的BC边上的高所在的直线方程为( A.x+y=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y=0 答案:B

)

解析:BC 边所在直线的斜率为 k BC ? 1 ? 3 ? ?1? BC 边上的高所在直线方程的斜率为 1,

3 ?1

故所求的直线方程为 y ? 1 ? 1? ( x ? 1)? 即 x-y+2=0.故选 B.

x1 ? ? x2 ? ?x ? 1 ? ? ? 3.设 A( x1 ? y1 )? B ( x2 ? y2 ) 是两个互异的点,点 P 的坐标由公式 ? 确定,当 ? y ? y1 ? ? y2 1? ? ? ? ? R 时,则 ( )
A.P 是直线 AB 上的所有的点 B.P 是直线 AB 上除去 A 的所有的点 C.P 是直线 AB 上除去 B 的所有点 D.P 是直线 AB 上除去 A、B 的所有点 答案:C

x1 ? ? x2 ? ?x ? 1 ? ? ? ? x1 ? x2 ? 解析:将 B ( x2 ? y2 ) 代入点 P 的坐标公式 ? 得? ? y1 ? y2 ? ? y ? y1 ? ? y2 1? ? ?
这与 A( x1 ? y1 )? B ( x2 ? y2 ) 是两个互异的点矛盾,所以 P 是直线 AB 上除去 B 的所有点,答 案选 C. 4.若方程 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1=0 表示一条直线,则实数 m 满 足 . 答案: m ? 1

解析:由 ?

?2m 2 ? m ? 3 ? 0?
2 ? m ? m ? 0?

解得 m=1,

∵方程表示一条直线,∴ m ? 1 . 5.已知点 A(1,-1),点 B(3,5),点 P 是直线 y=x 上的动点,当|PA|+|PB|的值最小时,点 P 的坐标是 . 答案:(2,2) 解析:连接 AB 与直线 y=x 交于点 Q,则当 P 点移动到 Q 点位置时,|PA|+|PB|的值最小.

直线 AB 的方程为 y ? 5 ? 即 3x-y-4=0. 解方程组 ?

5 ? (?1) ( x ? 3)? 3 ?1

?3 x ? y ? 4 ? 0? ? x ? 2? 得 ? y ? x? ? ? y ? 2?

于是当|PA|+|PB|的值最小时,点 P 的坐标为(2,2). 课后作业巩固提升 见课后作业 A

题组一 两条直线的垂直问题 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 答案:A 解析:由已知得直线 l 的斜率为 ? 3 ? 且过点(-1,2).?

)

2

由点斜式得 l 的方程为 y ? 2 ? ? 3 ( x ? 1)? 即 3x+2y-1=0.

2

2.已知 a=(6,2),b ? (?4? 1 )? 直线 l 过点 A(3,-1),且与向量 a+2b 垂直,则直线 l 的一般

2

方程是 . 答案:2x-3y-9=0 解析:a+2b=(-2,3),设 P(x,y)为直线 l 上任意一点,由(a+2b ) ? PA ,得直线 l 的一般 方程是 2x-3y-9=0. 题组二 直线的截距问题

??? ?

3.若直线 (2m 2 ? m ? 3) x ? (m 2 ? m) y ? 4m ? 1 在 x 轴上的截距为 1,则实数 m 是( A.1 C. ? 1 B.2

)

2

D.2 或 ? 1

2

答案:D 解析:当 2m 2 ? m ? 3 ? 0 时,在 x 轴上截距为 ∴m=2 或 m ? ? 1 .

4m ? 1 ? 1? 即 2m 2 ? 3m ? 2 ? 0? 2m 2 ? m ? 3

2

4.已知直线 l1 ? l2 的方程分别为 x+ay+b=0,x+cy+d=0,其图象如图所示,则有(

)

A.ac<0 C.bd<0 答案:C 解析:直线方程化为

B.a<c D.b>d

l1 : y ? ? 1 x ? b ? l2 : y ? ? 1 x ? d . a a c c
由图象知 ? ? 1 ? ? 1 ? 0? ? b ? 0 ? ? d ?

c

a

a

c

∴a>c>0,b<0,d>0. 题组三 三点共线问题 5.若点 A(a,0),B(0,b),C(1,-1)(a>0,b<0)三点共线,则 a-b 的最小值等于( A.4 B.2 C.1 D.0 答案:A 解析:∵A、B、C 三点共线, ∴ k AB ? k AC ? 即 b ? 0 ? ?1 ? 0 .∴ 1 ? 1 ? 1 .

)

0?a b

1? a

a

b

∴a-b= (a ? b)( 1 ? 1 ) ? 2 ? b ? a

a

a

b

=2 ?[(? b ) ? (? a )] ? 2 ? 2 ? 4 .

a

b

(当 a=-b=2 时取等号) 题组四 直线与线段的相交问题

(

6.设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交点,则 a 的取值范围是 ) A. (??? ? 5 ] ? [ 4 ? ??)

2

3

B. (? 4 ? 5 )

3 2

C. [? 5 ? 4 ]

2 3

D. (??? ? 4 ] ? [ 5 ? ??)

3

2

答案:B 解析:直线 ax+y+2=0 恒过点 M(0,-2),且斜率为-a, ∵ k MA ?

3 ? (?2) 2 ? (?2) 4 ? ? 5 ? k MB ? ? ? ?2 ? 0 2 3?0 3

由图可知: ? a ? ? 5 且 ? a ? 4 ?

2

3

∴ a ? (? 4 ? 5 )? 故选 B.

3 2

题组五 直线的综合问题 7.直线 2xcos ? ? y ? 3 ? 0(? ? [ ? ? ? ]) 的倾斜角的变化范围是(

6 3

)

A. [ ? ? ? ]

6 3 4 2

B. [ ? ? ? ]

4 3

C. [ ? ? ? ] 答案:B

D. [ ? ? 2? ]

4 3

解析:直线 2xcos ? ? y ? 3 ? 0 的斜率 k=2cos ? ? 由于 ? ? [ ? ? ? ]? 所以 1 ? cos ? ?

6 3

2

3? 2

因此 k=2cos ? ? [1? 3] . 设直线的倾斜角为 ? ? 则有 tan ? ? [1? 3]?

由于 ? ? [0? ? ),所以 ? ? [ ? ? ? ]? 即倾斜角的变化范围是 [ ? ? ? ] .

4 3

4 3

8.与直线 2x-y-4=0 平行且与曲线 y ? 5 x 相切的直线方程是 答案:16x-8y+25=0 解析:设与直线 2x-y-4=0 平行的直线为 2x-y+d=0, 联立方程组 ?

.

?2 x ? y ? d ? 0? ? ? y ? 5 x? ?

消去 y 得:2x+ d ? 5 x ? 即 4 x 2 ? (4d ? 25) x ? d 2 ? 0? ? ? (4d ? 25) 2 -4 ?4d 2 ? 0? 解得 d ? 25 ?

8

故所求的直线方程为 16x-8y+25=0. 9.与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形的面积是 24 的直线 l 的方程 是 . 答案:3x+4y+24=0 或 3x+4y-24=0 解析:设直线 l 的方程为 3 x ? 4 y ? a (a ? 0)? 则直线 l 与两坐标轴的交点分别为 ( a ? 0)? (0? a )?

3

4

∴ 1 ? | a | ? | a |=24,解得 a ? ?24 .

2

3

4

∴直线 l 的方程为 3 x ? 4 y ? ?24 . 10.从点(2,3)射出的光线沿与直线 x-2y=0 平行的直线射到 y 轴上,则经 y 轴反射的光 线所在的直线方程为 . 答案:x+2y-4=0 解析:由题意得,射出的光线方程为 y ? 3 ? 1 ( x ? 2)? 即 x-2y+4=0,与 y 轴交点为(0,2),

2

又(2,3)关于 y 轴对称点为(-2,3), ∴反射光线所在直线过(0,2),(-2,3)两点, 故方程为 y ? 2 ? 3 ? 2 x? 即 x+2y-4=0.

?2

11.(1)求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程; (2)过点 A(8,6)引三条直线 l1 ? l2 ? l3 ? 它们的倾斜角之比为 1∶2∶4,若直线 l2 的方程是 y= 3 x ,求直线 l1 ? l3 的方程.

4

解:(1)①当横截距、纵截距都为零时,设所求的直线方程为 y=kx, 将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k ? ? 2 ?

5

此时,直线方程为 y ? ? 2 x? 即 2x+5y=0.

5

y ②当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为 x ? ? 1? 2a a
将(-5,2)代入所设方程, 解得 a ? ? 1 ?

2

此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0. (2)设直线 l2 的倾斜角为 ? ? 则 tan ? ? 3 .

4

由 ? ? [0? ? ),sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1? 解得 sin ? ? 3 ? cos ? ? 4 ?

5

5

5 ? 1? 于是 tan ? ? 1 ? cos? ? 2 sin? 3 3 5 2? 3 2tan? ? 4 ? 24 ? tan 2? ? 2 3 )2 7 1 ? tan ? 1 ? ( 4
所以所求直线 l1 的方程为 y ? 6 ? 1 ( x ? 8)?

1? 4

3

即 x-3y+10=0,

l3 的方程为 y ? 6 ? 24 ( x ? 8)? 7
即 24x-7y-150=0. 12.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满足下列条件的直线 l 的 方程: (1)过定点 A(-3,4); (2)斜率为 1 .

6

解:(1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4, 它在 x 轴、y 轴上的截距分别是 ? 4 ? 3 、3k+4,

k

由已知,得|(3k ?4)(? 4 ? 3) |=6,

k

解得 k1 ? ? 2 或 k2 ? ? 8 .

3

3

所以直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b, 则直线 l 的方程是 y ? 1 x ? b? 它在 x 轴上的截距是-6b,

6

由已知,得| ?6b ? b |=6, ∴ b ? ?1 .

∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.??


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