【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数双基限时训练 新人教版选修2-2


【名师一号】2014-2015 学年高中数学 1-3-1 函数的单调性与导数 双基限时训练 新人教版选修 2-2
lnx 1.若 f(x)= (0<a<b<e),则有(

x

) B.f(a)=f(b) D.f(a)·f(b)>1

A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) 1 ·x-lnx x 1-lnx 解析 ∵f′(x)= = , 2 2

x

x

当 x∈(0,e)时, lnx∈(0,1),∴1-lnx>0,即 f′(x)>0. ∴f(x )在(0,e)上为增函数,又 0<a<b<e, ∴f(a)<f(b). 答案 C 2.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( A.f(x)>0 C.f(x)=0 B.f(x)<0 D.f(x)≥0 )

解析 由题意知 f( x)在(a,b)上为增函数,又 f(a)≥0,∴在(a,b)内恒有 f(x)>0. 答案 A 3.设 f(x)在(a,b)内可导,则 f′(x)<0 是 f(x) 在(a,b)内单调递减的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 f(x)在(a,b)内有 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)内单调递减;反过来,f(x)在(a, )

b)内单调递减,则 f′(x)≤0.

∴f′(x)<0 是 f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件. 答案 A 4.设 f′(x)是函数 f(x)的导数,y=f′(x)的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最 有可能是( )

解析 分析导函数 y=f′(x)的图象可知,x<-1 时,f′(x)<0.∴y=f( x)在(-∞, -1)上为减函数;当-1<x<1 时,f′(x)>0,∴y=f(x)在(-1,1)内为增函数;当 x>1 时,

f′(x)<0,∴y=f(x )在(1,+∞)上为减函数,只有 B 符合条件.
答案 B 5.设函数 f(x)=e +x-2,g(x)=lnx+x -3.若实数 a,b 满足 f(a)=0,g(b)=0, 则( ) A.g(a)<0<f(b) C.0<g(a)<f(b )
x x x
2

B.f(b)<0<g(a) D.f(b)<g(a)<0

解析 ∵f′(x)=e +1>0, ∴f(x)=e +x-2 在其定义域内是增函数. 又 f(a)=0, f(1) =e-1>0,f(0)=-1<0, 1 2 ∴0<a<1.∵x>0,∴g′(x)= +2x>0,∴g(x)=lnx+x -3 在(0,+∞)上为增函数,

x

而 g(1)=-2<0,g(2)=ln2+1>0,∴g(b)=0? 1<b<2.∴g(a)<0,f(b)>0.故 g(a)<0<f(b). 答案 A 6.已知 f (x)=x +2xf′(1),则 f′(0)等于________. 解析 ∵f(x)=x +2xf′(1), ∴f′(x)=2x+2f′(1). ∴f′(1)=2+2f′(1),∴f′(1)=-2. ∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.
2 2

答案 -4 7. 已知导函数 y=f′(x)的图象如下图所示, 请根据图象写出原函数 y=f(x)的递增区 间是________.

解析 由图象可知,当-1<x<2,或 x>5 时,f′(x)>0, ∴f(x)的递增区间为(-1,2)和(5,+∞). 答案 (-1,2),(5,+∞) 8.下列命题中,正确的是________. ①若 f(x)在(a,b)内是增函数,则对于任何 x∈(a,b),都有 f′(x)>0;②若在(a,

b)内 f′(x) 存在,则 f(x)必为单调函数;③若在(a,b)内的任意 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)
在(a,b)内是增函数;④若 x∈(a,b),总有 f′(x)<0,则在(a,b)内 f(x)<0. 答案 ③ 9.已知 R 上的可导函数 f(x)的图象如图所示,则不等式(x -2x-3)f′(x)<0 的解集 为________.
2

解析 由 f(x)的图象可知,f′(x)<0? -1<x<1;f′(x)>0? x<-1 或 x>1. 因此(x -2x-3)f′(x)<0,
? ?x -2x-3>0, 即? ?f′?x?<0, ? ?x<-1或x>3, ? 即? ?-1<x<1, ?
2 2

? ?x -2x-3<0, 或? ?f′?x?>0, ? ?-1<x<3, ? 或? ?x<-1或x>1, ?

2

即 1<x<3.

答案 {x|1<x<3} 10.已知 f(x)=e -ax,求 f(x)的单调区间. 解 ∵f(x)=e -ax.
x x

∴f′(x)=e -a. 令 f′(x)≥0,得 e ≥a. 当 a ≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥lna. 令 f′(x)≤0,得 e ≤a, 当 a>0 时,x≤lna. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的增区间为[lna,+∞),减区 间为(- ∞,lna]. 1 3 1 2 11.若函数 f(x)= x - ax +(a-1)x+1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6,+∞) 3 2 上为增函数,试求实数 a 的取值范围. 解 函数 f(x)的导数 f′(x)=x -ax+a-1.
2

x

x

x

令 f′(x)=0,解得 x=1,或 x=a-1. 当 a-1≤1,即 a≤2 时,函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当 a-1>1,即 a>2 时,函数 f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数, 在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意应有当 x∈(1,4)时,f′(x)<0, 当 x∈(6,+∞)时,f′(x)>0. 所以 4≤a-1≤6,解得 5≤a≤7. 所以 a 的取值范围是[5,7]. 12.设函数 f(x)=xe (k≠0). (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单 调区间; (3)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围. 解 (1)f′(x)=(1+kx)e ,f′(0)=1,f(0)=0,
kx kx

曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x. 1 kx (2)由 f′(x)=(1+kx)e =0,得 x=- (k≠0).

k

1 若 k>0,则当 x∈(-∞,- )时,f′(x)<0 ,

k

函数 f(x)单调递减; 1 当 x∈(- ,+∞)时,f′(x)>0,

k

函数 f(x)单调递增.

1 若 k<0,则当 x∈(-∞,- )时,f′(x)>0,

k

函数 f(x)单调递增; 1 当 x∈(- ,+∞)时,f′(x)<0,

k

函数 f(x)单调递减. 1 (3)由(2)知,若 k>0,则当且仅当- ≤-1,

k

即 k≤1 时,函数 f(x)在(-1,1)内单调递增; 1 若 k<0,则当且仅当- ≥1,即 k≥-1 时,

k

函数 f(x)在(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1].


相关文档

【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-2 函数的极值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-2-2 复合函数的导数双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-3-3 函数的最大(小)值与导数双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-1-3 导数的几何意义双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练3(含解析)新人教A版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练1(含解析)新人教A版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 导数及其应用双基限时练12(含解析)新人教A版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年高中数学 1-1-2 导数的概念双基限时训练 新人教版选修2-2
2014-2015学年高中数学 1-2-1 几种常用函数的导数及导数的运算法则双基限时训练 新人教版选修2-2
【名师一号】2014-2015学年新课标A版高中数学必修4-第一章三角函数双基限时练11]
电脑版
?/a>