2015年极坐标与参数方程典型习题和答案


? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , C1 : ? (t为参数) C2 : ? (? 为参数) y ? 3 ? sin t y ? 3sin ? ? ? 1.已知曲线 , . C , C (1)化 1 2 的方程为普通方程;
(2)若

C1 上的点 P 对应的参数为

t?

?
2

,Q


C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? (t为参数) ? y ? ?2 ? t 距离的最小值.
C 2. 在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,曲线 1 的方程为
? ? x ? 2 cos ? ? C C : ? cos? ? ? sin ? ? 1 ,若曲线 ? ? y ? sin ? ( ? 为参数),曲线 2 的极坐标方程为 2 C1 与 C2 相交于 A 、 B 两点.
3.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面 (1)求 | AB | 的值; (2)求点 M (?1, 2) 到 A 、 B 两点的距离之积.

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ? ?y ? 1 t ? 2 直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P, Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩
形的面积。

4 4.已知某圆的极坐标方程是 (Ⅰ)圆的普通方程和一个参数方程 ; (Ⅱ)圆上所有点 ( x, y ) 中 xy 的最大值和最小值。

? ? 2 ? 4 2 ? cos(? ? ) ? 6 ? 0

,求

5.已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处,极轴为 x 轴正半轴,直线 l 的参数

? x ? ?1 ? 3 t ?t为参数 ? ? y?t ? 方程为 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos ?
(1)写出 C 的直角坐标方程,并说明 C 是什么曲线? (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求

PQ .

sin 2 ( ? ) P ( ? , ? ) ? 2 4 成反比,动点 P 的轨迹经过点 6. 在极坐标系中,动点 运动时, 与 (?2?, 0?)
(I)求动点 P 轨迹的极坐标方程; (II)以极点为直角坐标系原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,将(I)中极坐标方 程化为直角坐标方程,并说明所得点 P 轨迹是何种曲线. 7.以直角坐标系的原点 o 为极点, x 轴的正半轴为极轴,已知点 P 的直角坐标为(1,-

?

?

? ? 5),点 M 的极坐标为(4, 2 ),若直线 l 过点 P,且倾斜角为 3 ,圆 C 以 M 为圆心,4
为半径。

(I)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程。 (II)试判定直线 l 与圆 C 的位置关系。

? ? x ? 3 cos? (? ? y ? 3 sin? ? xOy P (0, 3) ? C 8. 在直角坐标系 中,已知点 ,曲线 的参数方程为 为参 l 数).以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为

2 cos(? ? ) 6 (Ⅰ)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A 、 B ,求 | PA | ? | PB | 的值.
9.在极坐标系中,曲线 C : ? ? 6 cos? ? 8 sin? ,若以极点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立 平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; x? y (Ⅱ)若圆 C 上的动点 P 的直角坐标为 ( x, y ) ,求 的最大值,并写出取得最大值时点 P 的直角坐标. 10.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单 位相同.直线 l 的极坐标方程为: ρ sin(θ ﹣ )=10,曲线 C: (α 为参数),其中 α ∈[0,2π ). (Ⅰ)试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 2 2 11.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C1:x +y =1,以平面直角坐 标系 xoy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知 直线 l :ρ (2cosθ -sinθ )=6. (Ⅰ)将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、2 倍后得到曲线 C2,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程. (Ⅱ)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出此最大值. 12.(本小题满分 10 分)在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为

??

3

?

.

(2,

? ). 3
(1) (2) 求圆 C 的极坐标方程; 在以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系

中,直线 l 的参数方程为

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ? ? y ? ?2 ? 3 t ? 2 ?

(t 为参数),直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,已知定点 M (1 , ? 2) ,求

|MA|·|MB|. 13.(本小题满分 10 分)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标

系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程为 数),圆 C 的极坐标方程为 (I)求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 14.(本题满分 10 分) 的取值范围.

(t 为参

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? cos ? (? 为参 ? y ? sin ?

数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? (sin ? ? 3 cos? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 15.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程是 .以极点为平面直

?
3

与圆 C 的交点

角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

为参数),设点



(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 M,N 两点,求的值|PM|·|PN|的值. 16.(本小题满分 10 分)曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数),将曲线 C1 上所有 ? y ? sin ?

点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标伸长为原来的 3 倍,得到曲线 C2 .以平面直角坐 标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知 直线 l : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 6 . (1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程; (2) P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值.

试卷答案
? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 4 ? cos t C1 : ? (t为参数) ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3 ? sin t 1.解:(1)由曲线 得?
平方相加得 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1,
2 2

?x ? cos ? ? ?8 ? ? x ? 8cos ? , y x2 y 2 C2 : ? (? 为参数) ? ? sin ? ? ?1 ? ? y ? 3sin ? 由 得?3 ,平方相加得 64 9 ;
(2)由已知得 P 点坐标为(-4,4),设 Q 点坐标为(8cosθ ,3sinθ ),

4 ? 3sin ? ? ? ? ?2 ? 4 cos ? , ? 2 ? ,又直线的普通方程为 x-2y-7=0, 则 M 点坐标为 ?
所以 M 到直线的距离为

?2 ? 4cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 7 5


?

4cos ? ? 3sin ? ? 13 5

?

13 ? 3sin ? ? 4cos ? 13 ? 5 8 5 ? ? 5 5 5

x2 ? y2 ? 1 C C : ? cos? ? ? sin ? ? 1 , 2.解:(1) 曲线 1 的普通方程为 2 , 2 ? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 ? t为参数 ? ? ? y ? 2? 2 t ? C C 2 则 2 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 的参数方程为: ?
4 2 AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 2 C 3 代入 1 得 3t ? 10 2t ? 14 ? 0 , 14 MA MB ? t1t2 ? 3 (2)
略 3.解:(1)对于 C :由 ? ? 4 cos ? ,得 ? ? 4? cos? ,
2

进而 x ? y ? 4 x
2 2

? 3 x ? 5? t, ? ? 2 ? 1 ?y ? 1 t y? ( x ? 5) ? 3 ? 2 l t 对于 :由 ( 为参数),得 , 即 x ? 3y ? 5 ? 0 .
(2)由(1)可知 C 为圆,圆心为 (2, 0) ,半径为 2,

d?
弦心距

2 ? 3?0?5 1? 3

?

3 2 ,.

3 PQ ? 2 22 ? ( )2 ? 7 2 弦长 ,.

因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 略 4.解:(Ⅰ)普通方程:x2+y2﹣4x﹣4y+6=0 参数方程: (Ⅱ)xy=(2+ ,则 xy=t2+2 当 t= 略 令 sinθ +cosθ =t∈[﹣ 时,最大值是 9;
2

S ? 2d ? PQ ? 3 7

(θ 为参数) cosθ )(2+ , sinθ )=4+2 (sinθ +cosθ )+2sinθ cosθ ],2sinθ cosθ =t2﹣1 时,最小值是 1;

t+3…(6 分)当 t=﹣

5.解:(1)∵ r = 4 cos q ,∴ r

= 4r cosq ,(2 分) 2 2 2 2 2 由 r = x + y , r cosq = x 得: x + y = 4 x , 2 2 所以曲线 C 的直角坐标方程为 ( x - 2) + y = 4 ,…(4 分)
它是以

( 2,0) 为圆心,半径为 2 的圆.…(5 分)
3 y +1 = 0 , 圆 心 ( 2,0) 到 直 线
2

ì ? x = - 1 + 3t í ? y =t (2)把 ? 转 化 为 普 通 方 程 为 x-

骣 3 2 +1 3 PQ = 2 r 2 - d 2 = 2 4 - 琪 d= = 琪 2 x - 3 y +1 = 0 的距离 桫 2 2 ,所以


= 7
.

??
6.解:(I)设

sin 2 ( ? ) 2 4 k ?1

?

k

?

2?


k
2

sin ( ) 4

?

??
(II)

sin 2 ( ? ) 2 4
2

?

1

?

1 ? cos(? ? ) 2 ?1 ?? 2

?

? ? (1 ? sin ? ) ? 2 ∴ ? ? 2? y
1 y ? ? x2 ? 1 4

? 2 ? x2 ? y 2
x ? y ? (2 ? y)
2

? sin ? ? y
2

P 点轨迹是开口向下,顶点为(0,1)的抛物线 略

1 ? ? ? x ? 1? t x ? 1 ? cos ? t ? ? 2 ? ? 3 ?? ? ? y ? ?5 ? sin ? ? t ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? 2 (t 为参数) 7.解:(1)直线 l 的参数方程 ?
M 点的直角坐标为(0,4) 圆 C 半径

图 C 方程

x ? ( y ? 4) ? 16
2 2

得圆 C 极坐标方程 ? ? 8 sin ?

? x ? ? cos? ? y ? ? sin ? 代入 得?

(2)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 圆心 M 到 l 的距离为 略

d?

?4 ? 5 ? 3 2

?

9? 3 ?4 2

∴直线 l 与圆 C 相离。

8. 略 9.

略 10.

略 11. (Ⅰ )由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0. ∵C2: (

? x ? 3 cos? x y 2 ∴C2:的参数方程为: ? (θ 为参数)…5 分 ) 2 ? ( ) =1 2 3 y ? 2 sin ? ?

(Ⅱ)设 P( 3 cosθ ,2sinθ ),则点 P 到 l 的距离为:

12.

13.

14.

15. (Ⅰ)曲线 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 直线 l 的普通方程 y ? 3x ? 2 ? 3 ? 0 ; (Ⅱ) 6 ? 2 3 . 16. (Ⅰ)C2: ?

? x2 y 2 ? x ? 2 cos ? ? ? 1, l : x ? 2y ? 6 ? 0 ( ? 为参数),即 C2: 4 3 y ? 3 sin ? ? ?

(Ⅱ) P(2cos? , 3 sin ? ) ,由点到直线的距离公式得

d?

2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 6 5

6 ? 4( ?

3 1 sin ? ? cos ? ) 2 2 5

6 ? 4sin(? ? ) 5 ? 6 ? ? (6 ? 4sin(? ? ) 5 6 5 ? 2 5 10 5 ?d ? ?2 5 5 5

?


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