2014高中数学 第一章 常用逻辑用语 全称量词与存在量词导学案1 北师大版选修1-1


全称量词与存在量词
【学习目标】1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义;2.能 准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容 【重点难点】理解全称量词与存在量词的意义. 【知识链接】德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题“任意取一个奇数,可以把 它写成三个质数之和,比如 77, :77=53+17+7” ,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正 确,并且认为:每一个偶数都是两个质数之和,虽然通过大量检验这个命题是正确的, 但是还需要证明。这也就是当今人们称之为哥德巴赫猜想,并誉为数学皇冠上的明珠。 200 多年来我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即:凡是比某一个正整数大的任何偶 数,都能表示成一个质数加上两个质数相乘,或者表示成一个质数加上一个质数,从陈 景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥。它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面 证明也没有被推翻的命题. 【学习过程】 一、自学质疑: 在我们的日常生活中,我们常常遇到这样的命题: (1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护;
2 (2)对任意实数 x ,都有 x ? 0 ; 2 (3)存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 .

问题 1:上述命题中有那些关键的量词? 1.全称量词与存在量词: 全称量词定义: 表示形式: ; ;

符号表示:____________________________________________; 读作:________________________________________________.

存在量词定义:________________________________________; 表示形式:_____________________________________________; 符号表示:_____________________________________________; 读作:___________________________________________________.
2 如: “对任意实数 x ,都有 x ? 0 ”可表示为 2 “存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ” 可表示为

; .

2. 全称命题与存在性命题 全称命题定义: 存在性命题定义: 二、精讲点拨: 例 1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并找出其中的量词. (1)任意实数的平方都是正数__________\__________; (2)0 乘以任何数都等于 0______________\____________; (3)任何一个实数都有相反数___________\______________; (4)⊿ABC 的内角中有小于 60 的角___________\___________; (5)有人既能写小说,也能搞发明创造____________\__________;
0

,一般形式 , 一般形式

; .

问题 2:如何判定一个存在性命题,全称命题的真假?

例 2.判断下列命题的真假: (1) ?x ? R, x ? x ;
2

(2) ?x ? R, x ? x ;
2

(3) ?x ? Q, x ? 8 ? 0 ;
2

(4) ?x ? R, x ? 2 ? 0 ;
2

(5) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(6) ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 .
2

总结:存在性命题 ?x ? M , p( x) 为真,只要在给定的集合 M 中找出一个元素 x ,使命题

p ( x) 为真, 否则为假; 全称命题 ?x ? M , p( x) 为真, 必须对给定的集合的每一个元素 x ,

p ( x) 为真,但要判断一个全称命题为假,只要在给定的集合内找出一个 x0 ,使 p( x0 ) 为
假.

三、矫正反馈: 1.下列全称命题中,真命题的是___________. A.末位是偶数的整数总能被 2 整除; B.角平分线上的点到这个角两边距离相等; C.正三棱锥的任意两个面所成的二面角相等. 2.下列存在性命题中,真命题的是____________. A. ?x ? R, x ? 0
2

B.至少有一个整数,它既不是质数也不是合数 D. ?x 是无理数, x 是有理数
2

C. ?x 是无理数, x 是无理数 3.下列全称命题中真命题的个数是

.

①末位是 0 的整数,可以被 2 整除;②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;③ 正四面体中两侧面所成的二面角相等.

4.下列存在命题中假命题的个数是

.

①有的实数是无限不循环小数;②有些三角形不是等腰三角形;③有的菱形是正方形. 5.下列存在命题中真命题的个数是 .

① ?x ? R, x ? 0 ; ② 至 少 有 一 个 整 数 , 它 既 不 是 合 数 , 也 不 是 素 数 ; ③

?x ? {x│x是无理数}, x 2是无理数.
四、迁移应用: 1.下列全称命题中假命题的个数是 .
2

①2x+1 是整数(x∈R) ;②对所有的 x∈R ,x>3;③对任意一个 x∈z,2x +1 为奇数. 2.下列命题为存在命题的是 A.偶函数的图象关于 y 轴对称 C.不相交的两条直线是平行直线 ( ) . B.正四棱柱都是平行六面体 D.存在实数大于等于 3 ( ) .

3.命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是 A.原函数与反函数的图象关于 y=-x 对称 B.原函数不与反函数的图象关于 y=x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 D.存在原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 4.命题“ ?x ? R, x - x ? 3 ? 0 ”的否定是______________.
2

5.命题“ ?x ? R, x ? 1 ? 0 ”的否定是______________.
2

6.把下列命题改成含有量词的命题: (1)余弦定理 (2)正弦定理

7.用符号“ ? ”与“ ? ”表示含有量词的命题: (1)实数的平方大于等于 0; (2)存在一对实数,使 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 成立; (3)勾股定理.

8.写出下列命题的否定: (1)所有自然数的平方是正数;

(2)任何实数 x 都是方程 5 x -12=0 的根;

(3)对于任意实数 x ,存在实数

y ,使 x ? y ? 0 ;

(4)有些质数是奇数.


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