人教A版高中数学选修1-1 3.2.1-3.2.2 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则_图文


3.2 3.2.1 3.2.2 导数的计算 几个常用函数的导数 运算法则 基本初等函数的导数公式及导数的 课标要求 1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2, 素养达成 y= 1 x 的导函数. 通过对基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则的学习,提高学生的 运算求解能力,在推导公式过程中培 养学生的推理论证能力. 2.理解导数的四则运算法则. 3.掌握几种常见函数的导数公式. 4.能够应用导数公式及运算法则进 行求导运算. 新知探求 课堂探究 新知探求 答案:分三步: 素养养成 知识点一 基本初等函数的导数公式 问题1:怎样用定义求函数的导数? (1)求函数值的改变量Δ y=f(x2)-f(x1); (2)求平均变化率 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) = ; ?x x2 ? x1 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) = lim . ?x ?0 ?x ?x?0 x2 ? x1 (3)求平均变化率的极限得导数:f′(x)= lim 原函数 f(x)=c(c为常数) 导函数 f′(x)=0 α -1 f′(x)= α x f′(x)= cos x . f′(x)= -sin x . f′(x)= axln a f′(x)= ex f′(x)= (a>0) . . f(x)=xα (α ∈Q) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex . f(x)=logax f(x)=ln x 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a f′(x)= 1 x . 知识点二 导数运算法则 问题2:应用导数的运算法则求导数时有哪些注意点? 答案:(1)正确记忆函数的导数公式与运算法则; (2)分析函数的组成与结构特点; (3)对一些较复杂的函数应该先将函数进行化简,再求导. 梳理 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) . (2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) f ( x) (3)[ ]′= g ( x) . ? g ( x) ? 2 (g(x)≠0). 1 1 f ? ( x) 名师点津:(1)(ln x)′= ,[ ]′=(f(x)≠0). 2 f ( x ) x [ f ( x)] (2)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 课堂探究 素养提升 π π );(6)y=sin . 2 3 题型一 利用导数公式求函数的导数 【例 1】 求下列函数的导数: (1)y=x8;(2)y= 5 x 2 ;(3)y=4x;(4)y= log 1 x;(5)y=sin(x+ 2 解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7. 2 3 2 ?1 ? 2 2 2 5 (2)y′=( x )′=( x 5 )′= x 5 = x 5 . 5 5 (3)y′=(4x)′=4xln 4. 1 (4)y′=( log 1 x)′= . 1 2 x ln π 2 (6)y ′ =(sin )′=0. (5)y′=(cos x)′=-sin x. 3 方法技巧 用公式求函数导数的方法 (1)直接用公式:若所求函数符合基本初等函数导数公式,则直接利用公 式求解. (2)变形用公式:对于不能直接利用公式的类型,关键是利用代数恒等变换对 函数解析式进行化简或变形,将其转化为可以直接应用公式的基本函数的模 式.如根式、分式可化为指数幂的形式等. 注意 : 对解析式要看透其本质 , 如 :y=sin 数;y=3 是指数函数,而不能看成幂函数等. x π 是常数函数而不能看成正弦函 3 即时训练 1:求下列函数的导数: (1)y=5x;(2)y=1 ;(3)y=ln 3;(4)y=x x 3 . 5 x 解:(1)y′=(5x)′=5xln 5. 5 (2)y′=-(x-5)′=5x-6= 6 . x (3)y′=(ln 3)′=0. (4)因为 y=x x = x , ?1 5 5 5 3 5x x 2 所以 y′=( x )′= x = x 2 = . 2 2 2 3 5 2 5 2 题型二 导数的运算法则 【例 2】 求下列函数的导数: (1)y=(1- x )(1+ ln x 1 );(2)y= ; x x 1 1 ? 1 1 解:(1)因为 y=(1- x )(1+ )= - x = x 2 - x2 , x x 1 ?3 1 ?1 2 所以 y′=( x )′-( x )′=- x - x 2 . 2 2 1 ? x ? ln x (ln x)? x ? x? ln x x ln x (2)y′=( )′= = 2 x x x2 ? 1 2 1 2 = 1 ? ln x . x2 (3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e. 解:(3)y′=( = sin x (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? )′= cos x cos2 x cos x cos x ? sin x(? sin x) 1 = . cos 2 x cos 2 x (4)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3x(ln 3)· ex+3xex -2xln 2=(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. 方法技巧 导数的运算方法 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函 数,再求导. (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导. (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. 即时训练2:求下列函数的导

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