高中数学第二章圆锥曲线与方程242抛物线的简单几何性质课前导引素材新人教B版选修21


2.4.2 抛物线的简单几何性质 课前导引 问题导入 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如右图所示(单位:m) ,一辆卡 车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 m,车与箱共高 4.5 m,此车能否通过隧道? 并说明理由. 思路分析:如上图所示,建立平面直角坐标系,则 A(-3,-3) ,B(3,-3). 2 设抛物线方程为 x =-2py(p>0) , 将 B 点坐标代入,得 9=-2p·(-3) , ∴p= 3 . 2 2 ∴抛物线方程为 x =-3y(-3≤y≤0). ∵车与箱共高 4.5 m. ∴集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶 0.5 m. 设抛物线上点 D 的坐标为(x0,-0.5) ,点 D 关于 y 轴的对称点为 D′. 则 x0 = 2 3 3 6 ,∴x0=± =± . 2 2 2 ∴|DD′|=2|x0|= 6 <3, 故此车不能通过隧道. 知识预览 1.抛物线的几何性质 标准方程 图形 顶点 轴 焦点 准线 离心率 开口 M(x0,y0)焦半 径 范围 开口向右 F( (0,0) 对称轴 y=0 (0,0) 对称轴 x=0 y =2px(p>0) 2 y =-2px(p>0) 2 x =2py(p>0) 2 x =-2py(p>0) 2 p ,0) 2 p x= ? 2 e=1 F(- p ,0 ) 2 p x= 2 F(0, p ) 2 p y= ? 2 e=1 F(0,y= p ) 2 p 2 开口向左 开口向上 开口向下 |MF|=-y0+ y≤0 p |MF|=x0+ 2 x≥0 2 p |MF|=-x0+ 2 x≤0 p |MF|=y0+ 2 y≥0 p 2 2.已知抛物线的标准方程 y =2px(p>0),则抛物线上的点(x,y)的横坐标 x 的取值范围是 1 _______________________. 答案:x≥0 3. 抛 物 线 的 对 称 轴 叫 做 ________________. 抛 物 线 和 它 的 轴 的 交 点 叫 做 抛 物 线 的 _________________. 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的 __________________,其值为__________________. 答案:抛物线的轴 顶点 离心率 1 2 4.在抛物线y =2px(p>0)中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐 标分别为 _______________ ,连结这两点的线段叫做抛物线的 ______________ ,它的长为 _________________. 答案: ( p p ,p) , ( ,-p) 通径 4 2 2 5.平行于抛物线轴的直线与抛物线有____________________个交点. 答案:一个 2

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