2017-2018学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课时跟踪训练:(十二) 直线与平面的夹角 含解析


课时跟踪训练(十二) 直线与平面的夹角 1.已知直线 l 的一个方向向量为 a=(1,1,0),平面 α 的一个法向量为 μ=(1,2,-2),则 直线 l 与平面 α 夹角的余弦值为( A. 2 2 2 2 ) B.- 1 D. 2 2 2 C.± 2. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 长方体的高为 AA1 =3,则 BC1 与对角面 BB1D1D 夹角的正弦值等于( 4 A. 5 2 2 C. 5 3 B. 5 3 2 D. 5 ) 3.如图所示,点 P 是△ABC 所在平面外的一点,若 PA,PB,PC 与平 面 α 的夹角均相等,则点 P 在平面 α 上的投影 P′是△ABC 的( A.内心 C.重心 B.外心 D.垂心 ) 4.(大纲全国卷)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 的夹角的正弦值等于( 2 A. 3 C. 2 3 ) B. 3 3 1 D. 3 5.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值是 ________. 6.如图所示,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的 中点,则直线 AD 与平面 B1DC 夹角的正弦值为________________. 7.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2AA1,点 D 是 A1B1 的 中点. 求直线 AD 和平面 ABC1 夹角的正弦值. 8.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB ∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0). (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1; 6 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 夹角的正弦值为 ,求 k 的值. 7 答 案 3 2 a·μ 1.选 A cos〈a,μ〉= = = ,则直线 l 与平面 α 的夹角 θ 的正弦值 sin θ |a||μ| 2 2· 3 =|cos〈a,μ〉|= 2 2 ,cos θ= . 2 2 2.选 C 建立如图所示的空间直角坐标系, ∵底面是边长为 4 的正方形,AA1=3, ∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0). 而面 BB1D1D 的法向量为 AC = A1C1 =(-4,4,0), ∴ BC1 与 对 角 面 BB1D1D 所 成 角 的 正 弦 值 即 为 |cos 〈 BC1 , A1C1 〉 | = |?-4,0,-3?· ?-4,4,0?| 16 2 2 = = . 2 2 2 2 5 5×4 2 4 +3 × 4 +4 ??? ? ????? ???? ? ????? 3. 选 B 由于 PA, PB, PC 与平面 α 的夹角均相等, 所以这三条由点 P 出发的平面 ABC 的斜线段相等,故它们在平面 ABC 内的投影 P′A,P′B,P′C 也都相等,故点 P′是△ ABC 的外心. 4.选 A 法一:如图,连接 AC,交 BD 于点 O,由正四棱柱的性质, 有 AC⊥BD.因为 CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥BD.又 CC1∩AC=C,所以 BD⊥平面 CC1O.在平面 CC1O 内作 CH⊥C1O,垂足为 H,则 BD⊥CH.又 BD∩C1O=O, 所以 CH⊥平面 BDC1, 连接 DH, 则 DH 为 CD 在平面 BDC1 上的射影,所以∠CDH 为 CD 与平面 BDC1 所成的角.设 AA1=2AB=2. 2 CH 2 在 Rt△COC1 中,由等面积变换易求得 CH= .在 Rt△CDH 中,sin∠CDH= = . 3 CD 3 法二:以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA1=2AB=2, 则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则 DC =(0,1,0), DB =(1,1,0), ???? ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? DC1 =(0,1,2). 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x, y, z), 则 n⊥ DB , n⊥ DC1 , ?x+y=0, ? 所以有? ?y+2z=0, ? 令 y=-2,得平面 BDC1 的一个法向量为 n=(2,-2,1).设 CD 与平面 BDC1 的夹角为 ???? ???? ? n·DC ? 2 θ,则 sin θ=|cos〈n, DC 〉|=? ???? ?= . 3 ?|n|| DC |? 5.解析:如图,以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1), 易证 AC1 是平面 A1BD 的一个法向量. ???? ? ???? ? ???? ? AC1 =(-1,1,1), BC1 =(-1,0,1). cos〈 AC1 , BC1 〉= ???? ? ???? ? 1+1 6 = . 3 3× 2 6 . 3 所以 BC1 与平面 A1BD 夹角的正弦值为 答案: 6 3 6.解析:不妨设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长为 2,建立如图所示的空间 直角坐标系, 则 C(0,0,0),A( 3,-1,0),B1( 3,1,2),D? 则 CD =( 3 1 ? ,- ,2 , 2 2 ? ? ??? ? ???? 3 1 ,- ,2), CB1 =( 3,1,2), 2 2 设平面 B1DC 的法向量为 ??? ? ? CD =0, ?n· n=(x,y,1),由? ???? CB1 =0, ? ?n· 解得 n=(- 3,1,1). 又∵ DA =? 3 1 ?, ? 2 ,-2,-2? ??? ? 4 ∴sin θ=|cos〈 DA

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