【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第1讲 三角函数问题 理


[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型,通常是高考的把关题和压轴题,具有较 好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、 方法和能 力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻 辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力. [答题模板解读] 针对不少同学答题格式不规范,出现“会而不对,对而不全”的问题,规 范每种题型的万能答题模板,按照规范的解题程序和答题格式分步解答,实现答题步骤的最 优化. 万能答题模板以数学方法为载体,清晰梳理解题思路,完美展现解题程序,把所有零散的解 题方法与技巧整合到不同的模块中,再把所有的题目归纳到不同的答题模板中,真正做到题 题有方法,道道有模板,知点通面,在高考中处于不败之地,解题得高分.

第1讲

三角函数问题

题型一 与三角函数图象、性质有关的问题 3 ? π? 2 例 1 (12 分)已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3 4 ? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
规范解答 解 (1)由已知得

f(x)=cos x·? sin x+

?1 ?2

3 3 ? 2 cos x?- 3cos x+ 4 2 ?

1 3 3 2 = sin x·cos x- cos x+ [2 分] 2 2 4 1 3 3 = sin 2x- (1+cos 2x)+ 4 4 4 1 3 = sin 2x- cos 2x[4 分] 4 4
1

π? 1 ? = sin?2x- ?.[6 分] 3? 2 ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π .[7 分] 2 π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数.[10 分] 12? ? 4 ? 12 4 ?

f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= .[11 分] 4 12 4
1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- .[12 分] 4 2 ? 4 4? 评分细则 第(1)问得分点 π? 1 ? 1.无化简过程,直接得到 f(x)= sin?2x- ?,扣 5 分. 3? 2 ? 2.化简结果错误,但中间某一步正确,给 2 分. 第(2)问得分点 1 ?π ? 1 1 1 ? π? 1.只求出 f?- ?=- ,f? ?= 得出最大值为 ,最小值为- ,得 1 分. 4 4 4 4 4 4 ? ? ? ? 2.若单调性出错,只得 1 分. 3.单调性正确,但计算错误,扣 2 分. π 4.若求出 2x- 的范围,再求函数的最值,同样得分. 3

? π? ? ?

1 4

? π? ? ?

1 2

?π ? 1 ? ? 4

第一步:三角函数式的化简,一般化成 y=Asin(ω x+φ )+h 的形式,即化为“一角、一次、 一函数”的形式; 第二步:由 y=sin x,y=cos x 的性质,将 ω x+φ 看做一个整体,求 T、A、ω 、φ 等参 量,求函数单调区间、值域及角的范围; 第三步:得到函数的单调性或者角、函数值的范围,规范写出结果; 第四步:反思回顾,检查公式使用是否有误,结果计算是否有误. π? 1 2? 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=cos ?x+ ?,g(x)=1+ sin 2x. 12 2 ? ? (1)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (2)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.

题型二 三角变换与解三角形的综合问题

2

例 2 (12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,已知 a=3,cos A=

6 , 3

B=A+ .
(1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 规范解答 解 (1)由题意知:sin A= 1-cos A=
2

π 2

3 ,[1 分] 3

? π? sin B=sin?A+ ? 2? ?
=sin Acos =cos A= π π +cos Asin 2 2

6 ,[3 分] 3 = sin A sin B

由正弦定理得: ? b=

a

b

a·sin B =3 2.[5 分] sin A

(2)由余弦定理得:

b2+c2-a2 6 cos A= = 2bc 3
? c -4 3c+9=0 ? c1= 3,c2=3 3,[8 分] π 又因为 B=A+ 为钝角, 2 所以 b>c,即 c= 3,[10 分] 1 3 2 所以 S△ABC= acsin B= .[12 分] 2 2 评分细则 第(1)问得分点 1.没求 sin A 而直接求出 sin B 的值,不扣分. 2.写出正弦定理,但 b 计算错误,得 1 分. 第(2)问得分点 1.写出余弦定理,但 c 计算错误,得 1 分. 2.求出 c 的两个值,但没舍去,扣 2 分. 3.面积公式正确,但计算错误,只给 1 分.
2

3

1 4.若求出 sin C,利用 S= absin C 计算,同样得分. 2

第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标注出来,然后定转化方向; 第二步:定工具,即根据条件确定合理运算思路,如用正弦、余弦定理,三角形面积公式等, 实现边角转化; 第三步:计算,求结果; 第四步:回顾反思,在实施边角互化时,注意转化的方向,注意角的范围及特定条件的限制 等. 跟踪训练 2 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c. π (1)若 c=2,C= ,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值; 3 (2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.

4

答案精析 第二篇 看细则,用模板,解题再规范

第1讲

三角函数问题

π ?? 1? ? 跟踪训练 1 解 (1)f(x)= ?1+cos?2x+ ??, 6 ?? 2? ? 因为 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴, π 所以 2x0+ =kπ (k∈Z), 6 π 即 2x0=kπ - (k∈Z). 6 π? 1 1 ? 所以 g(x0)=1+ sin 2x0=1+ sin?kπ - ?,k∈Z. 6? 2 2 ? 1 ? π? 1 3 当 k 为偶数时,g(x0)=1+ sin?- ?=1- = . 2 ? 6? 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时,g(x0)=1+ sin =1+ = . 2 6 4 4 (2)h(x)=f(x)+g(x) π? 1 1 ? = [1+cos?2x+ ?]+1+ sin 2x 6 2 2 ? ? 1? 3 1 ? 3 = ? cos 2x+ sin 2x?+ 2? 2 2 ? 2 π? 3 1 ? = sin?2x+ ?+ . 3? 2 2 ? π π π 当 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 5π π 即 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z)时, 12 12 π? 3 1 ? 函数 h(x)= sin?2x+ ?+ 是增函数. 3? 2 2 ? 故函数 h(x)的单调递增区间为

?kπ -5π ,kπ +π ? (k∈Z). ? 12 12? ? ?
π 跟踪训练 2 解 (1)∵c=2,C= , 3 ∴由余弦定理 c =a +b -2abcos C 得 a +b -ab=4.
5
2 2 2 2 2

1 又∵△ABC 的面积为 3,∴ absin C= 3,ab=4. 2
? ?a +b -ab=4, 联立方程组? ?ab=4, ?
2 2

解得 a=2,b=2.

(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A, 得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A, 即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A·(sin A-sin B)=0, ∴cos A=0 或 sin A-sin B=0, 当 cos A=0 时,∵0<A<π , π ∴A= ,△ABC 为直角三角形; 2 当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A, 由正弦定理得 a=b, 即△ABC 为等腰三角形. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

6


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