2017_2018学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(一)课件新人教B版必修5


第一章——

1.1

正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理(一)

[学习目标]
1.通过对任意三角形边角关系的探索,掌握正弦定理的内容及其 证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接] 下列说法中,正确的有________.
a (1)在直角三角形中,若C为直角,则sin A= . c (2)在△ABC中,若a>b,则A>B.

(3)在△ABC中,C=π-A-B. (4)利用AAS、SSA都可以证明三角形全等. 2 π (5)在△ABC中,若sin B= ,则B= . 2 4

解析 根据三角函数的定义,(1)正确;
在三角形中,大边对大角,大角对大边,(2)正确; 三角形的内角和为π,(3)正确;

AAS可以证明三角形全等,SSA不能证明,(4)不正确;
π 3π 2 若sin B= ,则B= 或 ,(5)不正确,故(1)(2)(3)正确. 2 4 4 答案 (1)(2)(3)

[预习导引]
1.在Rt△ABC中的有关定理 在Rt△ABC中,C=90°,则有:

(1)A+B= 90°,0°<A<90°,0°<B<90°;
(2)a2+b2=c2(勾股定理); c b a c c (3) = ; = ; =c . sin C sin B sin A

2.正弦定理 在一个三角形中, 各边的长和它所对角的正弦的比相等, a b c =sin B=sin C sin A 即 ,这个比值是其外接圆的 直径2R . 3.解三角形

一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角 形的 元素 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫
做 解三角形 .

要点一 正弦定理的推导与证明
a b c 例1 在锐角△ABC中,证明: . sin A=sin B=sin C

证明 如图,在锐角△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D,有
CD CD =sin A, =sin B. b a

a b ∴CD=bsin A=asin B.∴ sin A=sin B . b c a b c 同理,sin B=sin C.∴sin A=sin B=sin C 成立.

规律方法 从正弦定理可以推出它的常用变形有:

(1)

a b b c a c . = , = , = sin A sin B sin B sin C sin A sin C

a sin A a sin A b sin B (2) = . , = , = b sin B c sin C c sin C

(3)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B. (4)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

a b c 跟踪演练1 在钝角△ABC中, 如何证明 仍然成立? sin A=sin B=sin C

证明 如图,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则 CD =sin A,即CD=bsin A; b CD =sin(180°-B)=sin B, a 即CD=asin B. a b = 因此bsin A=asin B,即 sin A sin B . a b c b c 同理可证,sin B=sin C .因此 sin A=sin B=sin C .

要点二 已知两角及一边解三角形 例2 已知△ABC,根据下列条件,解三角形: (1)a=20,A=30°,C=45°; 解 ∵A=30°,C=45°;∴B=180°-(A+C)=105°,
asin B 20sin 105° 由正弦定理得b= 40sin(45°+60°) sin A = sin 30° = =10( 6+ 2 );

asin C 20sin 45° c= sin A = sin 30° =20 2,

∴B=105°,b=10( 6+ 2 ),c=20 2 .

(2)a=8,B=60°,C=75°. 解 A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°,
b a 由正弦定理 , = sin B sin A
asin B 8×sin 60° 得 b= sin A = sin 45° =4 6,

a c 由正弦定理sin A=sin C,

2+ 6 8× 4 8 × sin 75° asin C 得 c= sin A = sin 45° = =4( 3+1). 2 2

∴A=45°,b=4 6,c=4( 3+1).

规律方法 思路是:

已知三角形的两角和任一边解三角形,基本

(1) 若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一 角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角. (2) 若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和 定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.

跟踪演练2 在△ABC中,a=5,B=45°,C=105°,求边c. 解 由三角形内角和定理知A+B+C=180°, 所以A=180°-(B+C)=180°-(45°+105°)=30°.
a c 由正弦定理sin A=sin C,
+45° ? sin C sin 105° sin?60° 得 c=a· sin A=5·sin 30°=5· sin 30° sin 60° cos 45° +cos 60° sin 45° 5 =5· =2( 6+ 2). sin 30°

要点三 已知两边及一边的对角解三角形
例3 在△ABC中,分别根据下列条件解三角形:

(1)a=1,b= 3 ,A=30°;
bsin A 3sin 30° 3 =2. 解 根据正弦定理,sin B= a = 1 ∵b>a,∴B>A=30°,∴B=60°或120°.

当B=60°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+60°)=90°,
bsin C 3 ∴c= sin B =sin 60° =2;

当B=120°时, C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°=A, ∴c=a=1.

(2)a= 3,b=1,B=120°.
asin B 3sin 120° 3 解 根据正弦定理,sin A= b = = >1. 1 2

因为sin A≤1.所以A不存在,即无解.

规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法: (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.

(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,
大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可

求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的

角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.

跟踪演练3 已知△ABC,根据下列条件,解三角形:
π (1)a=2,c= 6 ,C= ; 3

asin C 2 a c 解 ∵sin A=sin C,∴sin A= c = 2 .
π ∵c>a,∴C>A.∴A= . 4

5π 6· sin 12 5π csin B ∴B=12,b= sin C = π = 3+1. sin 3

π (2)a=2,c= 6 ,A= . 4 csin A 3 a c 解 ∵sin A=sin C,∴sin C= a = 2 .

π 2π 又∵a<c,∴C=3或 3 .

π 5π asin B 当 C=3时,B=12,b= sin A = 3+1.
2π π asin B 当 C= 3 时,B=12,b= sin A = 3-1.

1 2 3 4 5

1.在△ABC中,若sin A>sin B,则角A与角B的大小关系

为( A )
A.A>B C.A≥B 解析 B.A<B D.A,B的大小关系不能确定 由sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接

圆的半径)?a>b?A>B.

1 2 3 4 5

2.在△ABC中,一定成立的等式是( C )

A.asin A=bsin B
C.asin B=bsin A 解析

B.acos A=bcos B
D.acos B=bsin A

a b 由正弦定理 ,得asin B=bsin A, = sin A sin B

故选C.

1 2 3 4 5

3. 在 △ABC 中,已知 A = 150°, a = 3 ,则其外接圆的半

径R的值为( A )
A.3 C.2 B. 3 D.不确定

3 a 解析 在△ABC中,由正弦定理得 =6= = sin A sin 150° 2R,∴R=3.

1 2 3 4 5

4.在△ABC中,sin A=sin C,则△ABC是( B ) A.直角三角形 C.锐角三角形 解析 B.等腰三角形 D.钝角三角形

由sin A=sin C知a=c,

∴△ABC为等腰三角形.

1 2 3 4 5

2 5 5.在△ABC中,已知a= 5 ,sin C=2sin A,则c=_____.

解析

asin C 由正弦定理,得c= =2a=2 5. sin A

课堂小结
a b c 1.正弦定理的表示形式:sin A=sin B=sin C=2R,或a=ksin A, b=ksin B,c=ksin C(k>0).

2.正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角.

(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面

可以化边为角,转化为三角函数问题来解决;另一方面,也可以
化角为边,转化为代数问题来解决.


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