内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷理科 含解析 精品


2016-2017 学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高二(下)期中数学试卷(理科)

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.若(a﹣2i)i=b﹣i,其中 a,b∈R,i 是虚数单位,则复数 a+bi=( A.1+2i B.﹣1+2i
3



C.﹣1﹣2i D.1﹣2i )

2. (文)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为( A.2x+y+1=0 B.2x﹣y+1=0 C.2x﹣y﹣1=0

D.x﹣2y+1=0

3.用三段论推理:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a2>0”,你认为这个推理 ( ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 )

A.大前提错误

4.在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有( A.50 B.45 C.36 D.35

5.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有两个钝角 B.假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 6.函数 y=xcosx﹣sinx 在下面哪个区间内是增函数( A. ( , ) B. (π ,2π ) C. ( , ) ) D. (2π ,3π ) )



7.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6 )

8.在(1﹣x3) (1+x)10 展开式中,x5 的系数是( A.﹣297 B.﹣252 C.297 D.207 )

9.下列表述正确的是(

①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③

B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

10.函数 f(x)=﹣x3﹣2x2+4x,当 x∈时,有 f(x)≥m2﹣14m 恒成立,则实数 m 的取值范围 是( ) B. (3,11) C. D.
x

A. (﹣3,11)

11.设 a∈R,若函数 y=e +ax,x∈R,有大于零的极值点,则( A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D.



12.设函数 f(x)=ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x(x≥﹣2) ,若不等式 f(x)≤0 有解,则实数 a 的最小值为( A. ) C.1﹣ D.1+2e
2

B.2﹣

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.若 z(1+i)=i(其中 i 为虚数单位) ,则|z|等于 .

14.现有 5 种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分着色;要求有公共边的两部分不能 用同一颜色,则不同的着色方法有 种.

15.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪 犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有 一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外 两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是 16.已知函数 f(x)的定义域为,部分对应值如图: x f(x) ﹣1 1 0 2 4 2 5 1 .

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,下列关于 f(x)的命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在是减函数; ③如果当 x∈时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0; ④函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题: (共 6 小题, ) 17.已知复数 z=a2﹣7a+6+(a2﹣5a﹣6)i(a∈R) ,试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 18.有甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学,求: (1)5 位同学站成一排,有多少种不同的方法? (2)5 位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,有多少种不同的方法? (3)将 5 位同学分配到三个班,每班至少一人,共有多少种不同的分配方法? 19.设函数 f(x)=x ﹣3ax +3bx 的图象与直线 12x+y﹣1=0 相切于点(1,﹣11) . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性. 20.设函数 f(x)=2x ﹣3(a+1)x +6ax+8,其中 a∈R. (1)若 f(x)在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围. 21.已知 的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,
3 2 3 2

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数) . (2)求(1﹣x) +(1﹣x) +…+(1﹣x) 展开式中 x 项的系数. 22.设函数 f(x)=xlnx(x>0) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)设 F(x)=ax +f′(x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (3)斜率为 k 的直线与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点,求证: .
2 3 4 n 2

2016-2017 学年内蒙古巴彦淖尔市杭锦后旗奋斗中学高二(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.若(a﹣2i)i=b﹣i,其中 a,b∈R,i 是虚数单位,则复数 a+bi=( A.1+2i B.﹣1+2i C.﹣1﹣2i D.1﹣2i )

【考点】A3:复数相等的充要条件. 【分析】利用虚数单位 i 的性质,再利用 2 个复数相等的充要条件列方程组解出 a,b 的值, 即得结果. 【解答】解:∵(a﹣2i)i=b﹣i,其中 a,b∈R,i 是虚数单位, ∴2+ai=b﹣i,∴a=﹣1,b=2, 故 a+bi=﹣1+2i,故选 B.

2. (文)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为( A.2x+y+1=0 B.2x﹣y+1=0 C.2x﹣y﹣1=0

3



D.x﹣2y+1=0

【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求函数的导数,由导数的几何意义“切点处的导数值是切线的斜率”,求出点(1, 3)处的导数值得出切线的斜率,由点斜式求出切线方程即可. 【解答】解:∵y=f(x)=x ﹣x+3, ∴f′(x)=3x2﹣1. 设所求切线的斜率为 k. ∵点(1,3)在 y=f(x)的图象上,是切点, ∴k=f′(1)=3×1 ﹣1=2, ∴所求曲线的切线方程为:y﹣3=2(x﹣1) , 即 2x﹣y+1=0; 故选:B.
2 3

3.用三段论推理:“任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a2>0”,你认为这个推理 ( )

A.大前提错误

B.小前提错误

C.推理形式错误 D.是正确的

【考点】F6:演绎推理的基本方法. 【分析】要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提,小前提和结论是否都正确, 根据三个方面都正确,得到结论. 【解答】解:∵任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a >0, 大前提:任何实数的平方大于 0 是不正确的,0 的平方就不大于 0. 故选 A.
2

4.在所有的两位数中,十位数字大于个位数字的两位数共有( A.50 B.45 C.36 D.35



【考点】D8:排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,按个位数字的不同分 9 种情况讨论,分别求出每一种情况的符合条件的 两位数数目,由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,按个位数字的不同分 9 种情况讨论: ①、当个位数字为 0 时,其十位数字可以为 1、2、3、4、5、6、7、8、9,共 9 种情况; ②、当个位数字为 1 时,其十位数字可以为 2、3、4、5、6、7、8、9,共 8 种情况; ③、当个位数字为 2 时,其十位数字可以为 3、4、5、6、7、8、9,共 7 种情况; ④、当个位数字为 3 时,其十位数字可以为 4、5、6、7、8、9,共 6 种情况; ⑤、当个位数字为 4 时,其十位数字可以为 5、6、7、8、9,共 5 种情况; ⑥、当个位数字为 5 时,其十位数字可以为 6、7、8、9,共 4 种情况; ⑦、当个位数字为 6 时,其十位数字可以为 7、8、9,共 3 种情况; ⑧、当个位数字为 7 时,其十位数字可以为 8、9,共 2 种情况; ⑨、当个位数字为 8 时,其十位数字可以为 9,共 1 种情况; 则十位数字大于个位数字的两位数共有 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 个; 故答案为:45.

5.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是( A.假设至少有两个钝角 B.假设至少有一个钝角 C.假设没有一个钝角



D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 【考点】R9:反证法与放缩法. 【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝 角”,从而得出结论. 【解答】解:由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两 个钝角”, 故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应假设至少有两个钝角, 故选 A.

6.函数 y=xcosx﹣sinx 在下面哪个区间内是增函数( A. ( , ) B. (π ,2π ) C. (

) , ) D. (2π ,3π )

【考点】HA:余弦函数的单调性;3E:函数单调性的判断与证明;H5:正弦函数的单调性. 【分析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断,易用求其导数的方法来判断 其在那个区间上是减函数. 【解答】解:y'=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx 欲使导数为正,只需 x 与 sinx 符号总相反, 分析四个选项知,B 选项符合条件, 故应选 B.

7.由曲线 y= A. B.4

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( C. D.6



【考点】6G:定积分在求面积中的应用. 【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键,要确定出曲线 y= ,直线

y=x﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 【解答】解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为:

.故选 C.

8.在(1﹣x ) (1+x) 展开式中,x 的系数是( A.﹣297 B.﹣252 C.297 D.207

3

10

5



【考点】DC:二项式定理的应用. 【分析】先将多项式展开,转化成两二项式系数的差,利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 5,2 求出二项展开式的系数. 【解答】解: (1﹣x ) (1+x) =(1+x) ﹣x (1+x)
3 10 5 10 3 10 10 3 10

∴(1﹣x ) (1+x) 展开式的 x 的系数是(1+x) 的展开式的 x 的系数减去(1+x) 的 x 的 系数 ∵(1+x) 的展开式的通项为 Tr+1=C10 x
10 r r

5

10

2

令 r=5,2 得(1+x)10 展开式的含 x5 的系数为 C105;展开式的含 x2 的系数为 C102 C10 ﹣C10 =252﹣45=207 故选项为 D
5 2

9.下列表述正确的是(



①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③

B.②③④

C.②④⑤

D.①③⑤

【考点】F1:归纳推理;F5:演绎推理的意义. 【分析】本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题 逐一判断即可得到答案. 【解答】解:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D

10.函数 f(x)=﹣x ﹣2x +4x,当 x∈时,有 f(x)≥m ﹣14m 恒成立,则实数 m 的取值范围 是( ) B. (3,11) C. D.

3

2

2

A. (﹣3,11)

【考点】3H:函数的最值及其几何意义. 【分析】要使原式恒成立,只需 m ﹣14m≤f(x)min,然后再利用导数求函数 f(x)=﹣x ﹣ 2x +4x,当 x∈的最值即可. 【解答】解:因为 f(x)=﹣x ﹣2x +4x,当 x∈ 所以 f′(x)=﹣3x2﹣4x+4,令 f′(x)=0 得 因为该函数在闭区间上连续可导,且极值点处的导数为零, 所以最小值一定在端点处或极值点处取得, 而 f(﹣3)=﹣3,f(﹣2)=﹣8,f( 所以该函数的最小值为﹣33, 因为 f(x)≥m2﹣14m 恒成立, 只需 m ﹣14m≤f(x)min, 即 m2﹣14m≤﹣33,即 m2﹣14m+33≤0 解得 3≤m≤11. 故选 C.
2 3 2 2 2 3



)=

,f(3)=﹣33,

11.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则(



A.a<﹣1

B.a>﹣1

C.

D.

【考点】6D:利用导数研究函数的极值. 【分析】先对函数进行求导令导函数等于 0,原函数有大于 0 的极值故导函数等于 0 有大于 0 的根,然后转化为两个函数观察交点,确定 a 的范围. 【解答】解:∵y=ex+ax, ∴y'=ex+a. 由题意知 ex+a=0 有大于 0 的实根,令 y1=ex,y2=﹣a,则两曲线交点在第一象限, 结合图象易得﹣a>1? a<﹣1, 故选 A.

12.设函数 f(x)=e (x ﹣3x+3)﹣ae ﹣x(x≥﹣2) ,若不等式 f(x)≤0 有解,则实数 a 的最小值为( A. ) C.1﹣ D.1+2e2

x

3

x

B.2﹣

【考点】54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】化简 a≥x3﹣3x+3﹣ 单调性,从而解得. 【解答】解:f(x)≤0 可化为 ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x≤0, 即 a≥x3﹣3x+3﹣ 令 F(x)=x ﹣3x+3﹣ 则 F′(x)=3x2﹣3+
3

,从而令 F(x)=x3﹣3x+3﹣

,求导以确定函数的

, , =(x﹣1) (3x+3+e﹣x) ,

令 G(x)=3x+3+e﹣x,则 G′(x)=3﹣e﹣x,

故当 e =3,即 x=﹣ln3 时, G(x)=3x+3+e﹣x 有最小值 G(﹣ln3)=﹣3ln3+6=3(2﹣ln3)>0, 故当 x∈,部分对应值如图: x f(x) ﹣1 1 0 2 4 2 5 1

﹣x

f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,下列关于 f(x)的命题: ①函数 f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在是减函数; ③如果当 x∈时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最小值为 0; ④函数 y=f(x)﹣a 的零点个数可能为 0、1、2、3、4 个. 其中正确命题的序号是 ②③④ .

【考点】2K:命题的真假判断与应用;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】由导函数的图象看出函数的单调区间及原函数的极值点,结合函数 f(x)在定义域 内的部分对应值表,可以作出函数 f(x)图象的大致形状,由图象形状可以判断四个命题的 真假. 【解答】解:①由函数图象可知函数不具备周期性,故①错误. ②由导数图象可知,当﹣1<x<0 或 2<x<4 时,f′(x)>0,函数单调递增, 当 0<x<2 或 4<x<5,f′(x)<0,函数单调递减, 所以当 x=0 和 x=4 时,函数取得极大值 f(0)=2,f(4)=2, 当 x=2 时,函数取得极小值 f(2)=0, 所以 f(x)的极小值为 0,故②正确. ③若当 x∈时,f(x)的最大值是 2,则 0≤t≤5, 故 t 的最小值为 0,故③正确. ④∵f(﹣1)=1,f(0)=2,f(4)=2.f(5)=1, ∴根据函数的单调性和极值,做出函数的图象如图, (线段只代表单调性) ,根据题意函数的 极小值不确定,分 f(2)<1 或 1≤f(2)<2 两种情况,由图象知,函数 y=f(x)和 y=a 的

交点个数有 0,1,2,3,4 等不同情形,所以④正确 故答案为:②③④

三、解答题: (共 6 小题, ) 17.已知复数 z=a2﹣7a+6+(a2﹣5a﹣6)i(a∈R) ,试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. 【考点】A2:复数的基本概念. 【分析】利用实数、虚数、纯虚数的定义即可得出. 【解答】解: (1)∵z 为实数,∴虚部 a2﹣5a﹣6=0,解得 a=6 或﹣1. (2)∵z 为虚数,∴虚部 a ﹣5a﹣6≠0,解得 a≠6,且 a≠﹣1. (3)∵z 为纯虚数,∴ 综上可知: (1)当 a=﹣1 或 6 时,z 为实数; (2)当 a≠6,且 a≠﹣1 时,z 为虚数; (3)当 a=1 时,z 为纯虚数. ,解得 a=1.
2

18.有甲、乙、丙、丁、戊 5 位同学,求: (1)5 位同学站成一排,有多少种不同的方法? (2)5 位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,有多少种不同的方法? (3)将 5 位同学分配到三个班,每班至少一人,共有多少种不同的分配方法? 【考点】D3:计数原理的应用. 【分析】 (1)5 位同学站成一排,全排列即可. (2)利用捆绑和插空法排列即可.

(3)分组(3,1,1) , (2,2,1)两组,计算即可. 【解答】解: (1)5 位同学站成一排共有 =120.

(2)5 位同学站成一排,要求甲乙必须相邻,丙丁不能相邻,先用捆绑排甲乙,再和戊全排, 形成 3 个空,插入丙丁即可. 故有 =24. =60 种方法

(3)人数分配方式有①3,1,1 有

②2,2,1 有

=90 种方法

所以,所有方法总数为 60+90=150 种方法.

19.设函数 f(x)=x ﹣3ax +3bx 的图象与直线 12x+y﹣1=0 相切于点(1,﹣11) . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性. 【考点】62:导数的几何意义;3E:函数单调性的判断与证明. 【分析】 (Ⅰ)函数在切点处的导数值为切线斜率,切点在切线上,列方程解. (Ⅱ)导函数大于 0 对应区间是单调递增区间;导函数小于 0 对应区间是单调递减区间. 【解答】解: (Ⅰ)求导得 f′(x)=3x ﹣6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y﹣1=0 相切于点(1,﹣11) , 所以 f(1)=﹣11,f′(1)=﹣12,即: 1﹣3a+3b=﹣11,3﹣6a+3b=﹣12 解得:a=1,b=﹣3. (Ⅱ)由 a=1,b=﹣3 得:f′(x)=3x2﹣6ax+3b=3(x2﹣2x﹣3)=3(x+1) (x﹣3) 令 f′(x)>0,解得 x<﹣1 或 x>3; 又令 f′(x)<0,解得﹣1<x<3. 故当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f(x)是增函数, 当 x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数, 但当 x∈(﹣1,3)时,f(x)是减函数.
2

3

2

20.设函数 f(x)=2x3﹣3(a+1)x2+6ax+8,其中 a∈R.

(1)若 f(x)在 x=3 处取得极值,求常数 a 的值; (2)若 f(x)在(﹣∞,0)上为增函数,求 a 的取值范围. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出 f′(x) ,由 x=3 取得极值得到 f'(3)=0,求解得到 a 的值即可; (2)因为函数在(﹣∞,0)上为增函数令 f'(x)=0 得到函数的驻点,由 a 的取值范围研 究函数的增减性得到函数为增函数时 a 的范围即可. 【解答】解: (1)f'(x)=6x2﹣6(a+1)x+6a=6(x﹣a) (x﹣1) . 因 f(x)在 x=3 取得极值,所以 f'(3)=6(3﹣a) (3﹣1)=0.解得 a=3. 经检验知当 a=3 时,x=3 为 f(x)为极值点. (2)令 f'(x)=6(x﹣a) (x﹣1)=0 得 x1=a,x2=1. 当 a<1 时,若 x∈(﹣∞,a)∪(1,+∞) ,则 f'(x)>0,所以 f(x)在(﹣∞,a)和 (1,+∞)上为增 函数,故当 0≤a<1 时,f(x)在(﹣∞,0)上为增函数. 当 a≥1 时,若 x∈(﹣∞,1)∪(a,+∞) ,则 f'(x)>0,所以 f(x)在(﹣∞,1)和 (a,+∞)上为增函 数,从而 f(x)在(﹣∞,0]上也为增函数. 综上所述,当 a∈[0,+∞)时,f(x)在(﹣∞,0)上为增函数.

21.已知

的二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512,

(1)求展开式的所有有理项(指数为整数) . (2)求(1﹣x)3+(1﹣x)4+…+(1﹣x)n 展开式中 x2 项的系数. 【考点】DA:二项式定理;DB:二项式系数的性质. 【分析】 (1) 根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为 512, 写出所有系数的和的表示形式, 得到 n=10,写出通项式,使得通项式中 x 的指数等于整数,求出所有的项. (2)根据二项式系数的性质,变形整理把一项移项,写出展开式中 x 项的系数,把系数写成 两项的差,依次相加得到结果. 【解答】解: (1)Cn0+Cn2+…=2n﹣1=512=29 ∴n﹣1=9,n=10
2

=

(r=0,1,10)

∵5﹣

Z,∴r=0,6

有理项为 T1=C100x5,T7=C106x4=210x4 (2)∵Cnr+Cnr﹣1=Cn+1r, ∴x 项的系数为 C3 +C4 +…+C10 =(C4 ﹣C3 )+…+(C11 ﹣C10 ) =C11 ﹣C3 =164
3 3 2 2 2 2 3 3 3 3

22.设函数 f(x)=xlnx(x>0) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)设 F(x)=ax +f′(x) (a∈R) ,讨论函数 F(x)的单调性; (3)斜率为 k 的直线与曲线 y=f′(x)交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)两点,求证: . 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)根据极值与最值的求解方法,连续函数在区间( a,b)内只有一个极值,那么 极小值就是最小值; (2)先确定函数的定义域然后求导数 Fˊ(x) ,讨论 a 在函数的定义域内解不等式 Fˊ(x) >0 和 Fˊ(x)<0 即可求得; ( 3 ) 要 证 , 即 证
2











,令



则只要证 1)即可.

,由 t>1 知 lnt>0,故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>

【解答】 (1)解:f′(x)=lnx+1(x>0) ,令 f′(x)=0,得 ∵当 (x)>0, ∴当 ( 2 时, ) F ( x ) =ax +lnx+1
2

. 时,f′

时,f′(x)<0;当

. ( x > . 0 ) ,

①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F′(x)>0,得 2ax2+1>0,解得 令 F′(x)<0,得 2ax2+1<0,解得 综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a < 0 时 , F ( x ) 在 上单调递减. 上 单 调 递 增 , 在 . ;

(3)证:



要证

,即证



等价于证

,令



则只要证 1) (*) .

,由 t>1 知 lnt>0,故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>

①设 g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1) ,则 g(t)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 t>1 时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即 t﹣1>lnt(t>1) .

,故

②设 h(t)=tlnt﹣(t﹣1) (t≥1) ,则 h′(t)=lnt≥0(t≥1) ,故 h(t)在[1,+∞)上

是增函数, ∴当 t>1 时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即 t﹣1<tlnt(t>1) . 由①②知(*)成立,得证.

2017 年 6 月 13 日精品文档 强烈推荐


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