正弦型函数的图像及应用教案


龙文教育 数学 学科导学案(第
教师:郑俊朝 学生: 课 题

15 次课)

年级:高一 日期: 12 月 16 日 星期:
正弦函数的图像及应用

时段:

学情分析 教学目标与 考点分析 教学重点 教学方法

学生已经学习了三角函数的图像和性质,三角函数图象的平移变换是一个难点, 学生刚刚学习,需要及时加强巩固。 1.掌握正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换; 2.结合平移变换理解 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用; 3.掌握 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径.

图象的三种变换方法是本节课的重点

导入法、讲授法、归纳总结法 学习内容与过程
基础梳理

1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

2π 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= ω 叫做 1 周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+2,k∈Z)成轴对称图形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. 一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= 2π T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩 |φ| 变换), 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, 平移的量是 ω (ω>0)个单位. 原 因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言, x 本身加减多少值, 即 而不是依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性 作出整个函数的图象. 双基自测 M-m M+m ,k= 2 ,ω 由周期 2

? 1.y=2sin ( 2 x ? ) 的振幅、频率和初相分别为( 4
1 π A.2,π,-4 1 π B.2,2π,-4

). 1 π D.2,2π,-8

1 π C.2,π,-8

2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ) (| ? |? 和初相 φ 分别为( ).

?
2

) 的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期 T

π A.T=6π,φ=6 π C.T=6,φ=6

π B.T=6π,φ=3 π D.T=6,φ=3

π 3.函数 y=cos x( x ? R )的图象向左平移2个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应 为( ). C.-cos x D.cos x

A.-sin x B.sin x

4.设 ω>0,函数 y=sin (?x ? ( ). 2 A.3 4 B.3 3 C.2 D.3

?
3

) +2 的图象向右平移

4π 3 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

考向一

作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象

【例 1】?设函数 f(x)=cos(ωx+φ) (? ? 0,? (1)求 ω 和 φ 的值;

?

? 3 ? ? ? 0) 的最小正周期为 π,且 f ( ) ? . 2 4 2

(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

1 ? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin ( x ? ) ,x∈R. 2 4

(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;

(2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

考向二

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定 A,h 的值,函数的周期确定 ω 的值, 再根据函数图象上的一个特殊点确定 φ 值. 【例 2】?(2011· 江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示, 则 f(0)的值是________.

π 【训练 2】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<2,ω>0)的图象的一部分如图所示. (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

考向三

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

1 利用三角函数图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的2个最小正周期,去求解参数 ω

的值,利用图象的最低点为三角函数最值点,去求解参数 A 的值等.在求函数值域时,由定义域 转化成 ωx+φ 的范围,即把 ωx+φ 看作一个整体. π 【例 3】?已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与 x 轴的交点中, π 2? 相邻两个交点之间的距离为2,且图象上的一个最低点为 M ( ,?2) . 3 (1)求 f(x)的解析式;

? ? (2)当 x∈ [ , ] 时,求 f(x)的值域. 12 2

【训练 3】 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P (

?
12

,0) ,图象上与点 P 最近的一

? 个最高点是 Q ( ,5) . 3
(1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间.

规范解答——怎样求解三角函数的最值问题 【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意其定义域,否则容 易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最值)求相关的参数; ③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题.

5 3 ? 示例: 是否存在实数 a, 使得函数 y=sin2x+acos x+8a-2在闭区间 [0, ] 上的最大值是 1?若存在, 2 求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由.

课内练习与训练
若不等式 4 ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 4 cos x ? a ? 20 恒成立,求实数 a 的取值范围.

学生对本次课的小结及评价
1、本次课你学到了什么知识 2、你对老师下次上课的建议

⊙ 特别满意

⊙ 满意

⊙ 一般

⊙ 差

学生签字:

课后练习: (具体见附件)

课后小结

教师签字:

审阅签字: 教务主任签字:

时 时

间: 间:

龙文教育教务处


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