山东省淄博市淄川中学高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含解析


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2016 级第一次月考文科数学试卷
一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,满分共 60 分,每小题只有一 个正确答案)
1. 设函数 A. 【答案】B 【解析】∵函数 ∴ 在 处可导, , 在 B. 处可导,则 C. D. ( )

2. 求函数 A. 【答案】D 【解析】∵ ∴ 3. 已知函数 A. C. 【答案】A 【解析】选项 A 中, 选项 B 中, 选项 C 中, 选项 D 中, 综上选 A. 4. 曲线 A. 【答案】A B. D. 在 B.

的导数( C.

) D.

, .选 D. 处导数值为 3,则 B. 的解析式可能是( )

,所以

,符合题意,故 A 正确.

,所以 ,所以 ,所以

,不符合题意,故 B 不正确. ,不符合题意,故 C 不正确. ,不符合题意,故 D 不正确.

在点

处的切线方程为 C. D.

【解析】∵ ∴ ∴ 又 , , ,



∴所求切线方程为 即 5. 设函数 .选 A.



在定义域内可导,

的图象如图所示,则导函数

可能为

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】由题意得,当 当 时,函数 时,函数 单调递增,故 ;

先增再减然后再增,故导函数的符号为先正再负然后再正.

结合所给选项可得 D 符合题意.选 D. 6. 函数 A. 【答案】C 【解析】 恒成立, 在区间 , 上, 在区间 单调递增, 在区间 ,故选 C. 上, B. 在区间 C. 上单调递增,则实数 的取值范围是 D.

【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用及利用单调性求参数的范围,属于中 档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法: ① 视参数为已知数, 依据函数的图象或单调性 定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 的, 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式 恒成立问题求参数范围,本题是利用方法 ② 求解的. 上是单调 或

7. 函数 A. B.

的图象与直线 C. D. 1

相切,则 a 等于(



【答案】B 【解析】由 所以 .故选 B ,则当箱子的容积最大时, 消去 y 得: 。由题意得:

8. 某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 箱子的底面边长为 A. 30 B. 35 C. 40 D. 50

【答案】C 【解析】∵ ∴ ∴当 当 ∴当 选 C. 9. 设曲线 A. B. 在点 C. 处的切线与直线 D. 平行,则 ( ) 时, 时, 时, , 单调递增; 单调递减. 有最大值,即当箱子的容积最大时,箱子的底面边长为 40. ,

【答案】B 【解析】∵ ∴ ∴ , , ,



,解得

.选 B. 是

10. 已知 f(x)= x2-cosx,x∈[-1,1],则其导函数 A. 仅有最小值的奇函数

B. 既有最大值又有最小值的偶函数

C. 仅有最大值的偶函数 【答案】D 【解析】∵ ∴ 设 则 ∴ ∴ , 在区间 在区间

D. 既有最大值又有最小值的奇函数

, ,为奇函数. ,

上单调递增. 上既有最大值也有最小值.选 D.

11. 定义在闭区间[a,b]上的函数 y=f(x)有唯一的极值点 x=x0,且 y 极小值=f(x0),则下列 说法正确的是( ) B. 函数 f(x)有最小值,但不一定是 f(x0)

A. 函数 f(x)的最大值也可能是 f(x0) C. 函数 f(x)有最小值 f(x0) 【答案】C

D. 函数 f(x)不一定有最小值

【解析】∵定义在闭区间[a,b]上的函数 y=f(x)有唯一的极值点 x=x0,且 y 极小值=f(x0), ∴函数 ∴当 选 C. 12. 已知定义在 上的奇函数 令 A. 【答案】A 【解析】由 ∴ 在 可得 上单调递减. 为偶函数, 上单调递增. , ,解得 . .选 A. , ,则满足 B. C. ,设其导函数为 ,当 ) 时,恒有 , 在区间 时,函数 上单调递减,在 上单调递增,

有极小值,也为最小值.

的实数 的取值范围是( D.

又函数 ∴ 又 ∴ 在

∴实数 的取值范围是 点睛:

(1)对于条件中含有导函数的不等式的问题,解题时一般要通过构造函数的方法进行,结 合导数的运算法则构造出积或商形式的函数,然后再结合函数的单调性解题. (2)解函数不等式时要注意函数性质的利用,如本题中对于先减后增的偶函数,在解不等 式时,可将问题转化为变量到对称轴的距离的问题处理.

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中 横线上)
13. 若函数 【答案】16 【解析】因为 14. 函数 【答案】1 【解析】∵ ∴ ∴当 当 ∴当 答案:1 15. 函数 【答案】 【解析】∵f(x)= ,∴f′(x)= , 的最大值为_________. , 时, 时, 时, 单调递减; 单调递增. 有最小值,且 . , 在 ,所以 。 ,则 =___________

上的最小值是____________.

令 f′(x)=0 得 x=e. ∵当 x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上为增函数, 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,则在(e,+∞)上为减函数, ∴fmax(x)=f(e)= . 故答案为: 。 16. 已知 围是___________. ,若 ,使得 成立,则实数 的取值范

【答案】 【解析】由题意得“ ∵ ∴当 又 ∴ ∴当 故当 ∴ 时, 时,函数 . . 时, , , 单调递减;当 有最小值,且 时, . 单调递增. , . ,使得 成立”等价于“ ”.

∴实数 的取值范围是 答案: 点睛:

解答本题时要注意转化思想方法的运用, 将问题转化为函数的最值问题处理. 要注意以下结 论的运用: ①“ ②“ ③“ ④“ ,使得 ,使得 ,使得 ,使得 成立”等价于“ 成立”等价于“ 成立”等价于“ 成立”等价于“ ”; ”; 的值域存在交集 ”; 的值域相同”等.

三、解答题(本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知函数 【答案】 【解析】试题分析: 将问题转化为导函数在定义域上大于等于零恒成立的问题处理, 然后利用分离参数的方法求 解即可. 试题解析: 由题意得函数 的定义域为 , , , .若函数 在其定义域上为增函数,求的取值范围.

∴ ∵ 函数 ∴ ∴ 又当 ∴ 时, ,解得 . 在 对 对

, 上单调递增, 恒成立,即 恒成立. ,当且仅当 即 时等号成立. 对 恒成立,

∴ 实数的取值范围为 18. 已知函数 (1)求 (2)求 的值; 在 上的最大值 (

. )若 的图象在 处与直线 相切.

【答案】 (1)

; (2) 进行求导, 求出切线方程,只需求出其斜率即可,利用函 的

【解析】试题分析: (1)对 数在

处的导数值求解斜率, 再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率, 列出关于

方程求解

的值; (2)研究区间上函数的最值问题,先求出函数的极值,比较极值和端点

处的函数值的大小,最后确定函数的最大值. 试题解析: (1) .

由函数



处与直线

相切,得

,即

,解得:



(2)由(1)得: 此时, 所以 所以 在 在 ,令 上单调递增,在 上的最大值为

,定义域为 ,解得 上单调递减, .

. ,令 ,得 .

考点:导数的几何意义;利用导数求解函数的最值. 19. 已知 (1)求; 是函数 的一个极值点.

(2)求函数

的单调区间.

【答案】 (1)12; (2)见解析 【解析】试题分析: (1)根据极值点为导函数的零点求解,求出的值后需要验证. (2)由(1)得到函数的解析 式,求导数后由导函数大于零可得增区间,由导函数小于零可得减区间. 试题解析: (1)∵ ∴ 由题意得 解得 经检验知 ∴ . ,x∈(0,+∞) , ,得 ,得 或 . ;单调减区间是 . ; . 满足题意. . ,

(2)由(1)知, ∴ 由 由

∴函数 f(x)的单调增区间是 点睛:

(1)利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤: ①确定函数 f(x)的定义域; ②求导数 f′(x); ③在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 和 f′(x)<0; ④根据③的结果确定函数 f(x)的单调区间. (2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论,分类时要做到不重不漏,解题时可结合函 数的图象利用数形结合进行. 20. 已知函数 (1)求 (2)对 的极小值; 恒成立,求实数的取值范围. .

【答案】(1)1;(2) 【解析】试题分析:



(1)先求出导函数,然后根据导函数的符号判断出单调性,然后可得到函数的极值. (2) 分离参数可得当 范围. 试题解析: (1)∵ ∴ 当 当 ∴当 时, 时, 时, . 单调递减; 单调递增. 有极小值,且极小值为 时, , 恒成立. . , 时, 恒成立,然后求出函数 的最小值即可得到所求

(2)由题意得当 令

则 由 ,得

, . 与 的变化情况如下表:

当 变化时,

由表知 ∴ .



∴实数的取值范围是 21. 已知函数 (1)求函数 (2)求函数 【答案】 (1) 的解析式; 在

. 的图像在 处的切线方程为 ;

上的最值. ; (2)最小值为 ,最大值为

【解析】试题分析: (1)求出导函数,然后根据 而可得函数的解析式. (2)先求出函数在区间 数的最大值和最小值. 试题解析: (1)由题意得 在 ∴ 解得 . . , 时, 时, 当 时, 单调递增, 单调递减. 有极大值,且极大值为 , 在 上的最小值为 ,最大值为 . . 处的切线方程为 ,即 , , , 得到关于 的方程组,解方程组可得 ,从

上的极值和端点值,比较大小后可得函

∴ 函数的解析式为 (2)由(1)得 ∴ 当 当 ∴ 又 ∴ 点睛: (1)求给定区间上的函数最值的步骤: ①求函数 点值;④将 的导数 ;②求

在给定区间上的单调性和极值;③求

在给定区间上的端

的各极值与

的端点值进行比较,确定

的最大值与最小值;

(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最 大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 22. 已知函数 (1)求函数 (2)若经过点 【答案】 (1) 【解析】试题分析: (1)求出函数的导函数,然后根据导数的几何意义得到关于 后可得函数的解析式. (2)设出切点 ,求导数后可得 的方程组,解方程组求得 ,即为切线的斜率, 的解析式; 可以作出曲线 ; (2) 的三条切线,求实数 的取值范围. 在点 处的切线方程为 .

然后根据斜率公式可得 函数 试题解析; (1)∵ ∴ 根据题意得 ∴函数的解析式为 (2)由(1)得 设切点为 ,则 . , . , ,解得 ,

,即

.若函数有三条切线,则

有三个不同的零点,根据函数的极值可得所求范围.



,故切线的斜率为



由题意得



即 ∵ 过点 ∴方程 ∴函数 由于 ∴当 当 当 ∴当 当 时, 时, 时, 时, 时,

, 可作曲线 的三条切线

有三个不同的实数解, 有三个不同的零点. , 单调递增, 单调递减, 单调递增. 有极大值,且极大值为 有极小值,且极小值为 . ;

∵函数 ∴ 解得

有 3 个零点, , . .

∴实数 的取值范围是

点睛:利用导数研究方程根的方法 (1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、 最大值、 最小值、 变化趋势等,

根据题目要求,画出函数图象的大体形状,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思 想去分析问题,使问题的求解有直观的整体展现. (2)研究方程根的情况,也可通过分离参数的方法,转化为两函数图象公共点个数的问题 处理,解题时仍要利用数形结合求解.


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