高中数学人教A版选修2-1全优课堂同步课件3.1.2空间向量的数乘运算


1.掌握空间向量的数乘运算. 2.理解共线向量定理及推论. 3.理解共面向量定理及推论. 自学导引 1.空间向量的数乘运算 λa (1)定义:实数 λ 与空间向量 a 的乘积 ________ 仍然是一个 向量 ,称为向量的数乘运算. ________ (2)向量 a 与 λa 的关系. λ 的范围 方向关系 λ>0 λ=0 λ<0 模的关系 λa 的模是 a 的模 |λ| 倍 的____ 相同 方向________ 0 ,其方向是任意的 λa=____ 相反 方向________ (3)空间向量的数乘运算律 设 λ、μ 是实数,则有 ①分配律:λ(a+b)=λa+λb; ②结合律:λ(μa)=(λμ)a. 2.共线向量 共线(平行)向量 共面向量 表示空间向量的有向线段 定 所在的直线___________ ___________的向量叫 平行或重合, 平行于同一个平面 义 则这些向量叫做________ 做共面向量 共线向量 或平行向量 充 若两个向量 a,b 不共线,则 对于空间任意两个向量 a, 要 向量 p 与 a,b 共面的充要条 b(b≠0),a∥b 的充要条件 条 件是存在唯一的有序实数对 是存在实数 λ 使 a=λb 件 (x,y),使 p=xa+yb 如果 l 为经过点 A 且平行于 已知非零向量 a 的直线,那 么对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存 → → 在实数 t, 使OP=OA+ta①, 如图,空间一点 P 位于平面 推 其 中 a 叫 做 直 线 l 的 MAB 内的充要条件是存在有 方向向量 论 ________,如图所示. → 序实数对(x,y),使MP= → → xMA+yMB ,或对空间任 _____________ → → 意一点 O 来说, 有OP=OM+ → → → xMA + yMB 若在 l 上取AB=a,则①式 → → → 可化为OP=OA+tAB 自主探究 空间的两非零向量 a,b 共面,能否推出 a=λb(λ∈R)? 【答案】不能推出 a=λb,因空间中任意两共面向量 a,b 共 面未必有 a∥b,故不一定有 a=λb. 预习测评 ( → → → 1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量AB1, AD1, BD是 ) A.有相同起点的向量 B.等长的向量 C.共面向量 D.不共面向量 【答案】C → → → → → → → 【解析】AD1-AB1=B1D1=BD,∴AD1,AB1,BD共面. 2.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a,b,c 共面即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb 【答案】C 3.满足下列条件,能说明空间不重合的 A,B,C 三点共线的 是( ) → → → → → → A.AB+BC=AC B.AB-BC=AC → → → → C.AB=BC D.|AB|=|BC| 【答案】C → → → 4.在四面体 O-ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC → 的中点,E 为 AD 的中点,则OE=________(用 a,b,c 表示). 1 1 1 【答案】 a+ b+ c 2 4 4 → 1 → → → 1 → → 【解析】OE= (OA+OD),又∵OD= (OB+OC). 2 2 1 1 → 1 ∴OE= a+ b+ c. 2 4 4 要点阐释 1.共线向量 与平面向量一样, 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,记作 a∥b. 2.共线向量定理 对于空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在 实数 λ 使 a=λ· b. 共线向量定理的推论: 如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非 零向量 a 的直线,那么对于空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要 → → 条件是存在实数 t,满足等式OP=OA+ta.① 其中向量 a 叫直线 l 的方向向量,如图所示. → 若在 l 上取AB=a,则①式可以化为 → → → → → OP=OA+tAB=(1-t)· OA+t· OB.② 注意: ②式是 P、A、B 三点共线的充要条件; 3.共面向量定理 如果两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面的充要 条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 p=xa+yb,如图所示. 共面向量定理的推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x, → → → → → → y),使AP=xAB+yAC;或对空间任意一点 O,有OP=OA+xAB+ → yAC. → → → → → 扩展: 上式还可写成OP=(1-x-y)OA+xOB+yOC(注意: OA, → → OB,OC的系数之和为 1). 典例剖析 题型一 共线问题 → → → 【例 1】 设空间四点 O,A,B,P 满足OP=mOA+nOB,其 中 m+n=1,则( ) A.点 P 一定在直线 AB 上 B.点 P 一定不在直线 AB 上 C.点 P 可能在直线 AB 上,也可能不在直线 AB 上 → → D.AB与AP的方向一定相同 → → 思路点拨:利用共线向量定理说明AP与AB的关系作判断. 【答案】A 【解析】 已知 m+n=1,则 m=1-n, → → → → → → → → OP=(1-n)OA+nOB=OA-nOA+nOB?OP-OA → → → → → =n(OB-OA)?AP=nAB.因为AB≠0. → → 所以AP和AB共线,即点 A,P,B 共线,故选 A. → → → 1. 已知 A, B, P 三点共线, O 为空间任意一点.OP=αOA+βOB, 求 α+β 的值. 【解析】∵A、B、P 三点共

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