西藏林芝市第一中学2019届高三数学上学期第三次月考试卷理(含解析)


2019 届西藏林芝市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题
A.10 注意 事项: 1 .答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2 .选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 8.将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,纵坐标不变,再把所 B.5 C.-1 D.

座位号

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 .非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4 .考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

得函数图象向右平行移动

个单位长度,得到的函数图象的一个对称中心是



A.

B.

C.

D.

9.已知 f(x)=2sin(ω x+φ )的部分图像如图所示,则 f(x)的表达式为



一、单选题 1.已知集合 A ? ??2, ?1,0,1,2,3? ,集合 B ? x | y ?

考场号

?

4 ? x2 ,则 A B 等于

?



A. ? ?2, 2? C. ??2, ?1,0,1, 2?

B. ??1,0,1? D. ?0,1,2,3?

2.若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位),则 z 为

(A)3+5i 3.设

(B)3-5i ,则“

(C)-3+5i ”是“

(D)-3-5i 为偶函数”的



准考证号

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 则

3 2 3 B.f(x)=2sin( 2 4 C.f(x)=2sin( 3 4 D.f(x)=2sin( 3
A.f(x)=2sin( 10.设三次函数

? ) 4 5? x+ ) 4 2? x+ ) 9 25? x+ ) 18
x+ 的导函数为 ,函数 的图象的一部分如图所示,



4.已知 sin2α >0,且 cosα <0,则角 α 的终边位于 A.第一象限 C.第三象限 5.曲线 A. C. B.第二象限 D.第四象限 在点(1,5)处的切线方程为 B. D.

卷 姓名





A. 极小值为

极大值为

, 极小值为

B.

极大值为



6.若函数

,则

等于

C. 极小值为

极大值为

,极小值为

D.

极大值为



班级

A.

B.
3

C.

D.

7.函数 f(x)=x +4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为

17.计算或化简 11.若 a>2,则函数 f(x)= A.0 个零点 C.2 个零点 B.1 个零点 D.3 个零点
3 2

x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有
(1)化简:

12.已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与 x 轴相切于原点,且 x 轴

(2)计算:tan θ +

=4,求 sin 2θ

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= 与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为 (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积. 19.已知函数 A.-1 B.0 C.1 D.-2 (1)求 二、填空题 的图象经过点(0,0),(2,0). 的值; 及函数 的表达式. 在点

2 ,sinB= 5 cosC. 3

处取得极小值-5,其导函数

?? ? 13.设 sin2? ? ?sin? , ? ? ? , ? ? ,则 tan ? 的值是________. ?2 ?
14.设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则实数 a 的值为__ __. 15.函数 是周期为 2 的奇函数,当 ,则

(2)求

20.已知函数 (I)求函数 的值域;

(其中



______ 16.下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是
4 4

(II)若函数

的图象与直线

的两个相邻交点间的距离为

,求函数

的单调增区间. ; 21.已知函数 f ( x) ? e
x ?m

? ln(2x) .

(1)设 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x) 的单调性; ②终边在 y 轴上的角的集合是{α |α = ; (2)当 m ? 2 时,证明: f ( x) > ? ln 2 . 22.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ? ?1, 0 ? ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴 ④把函数 ; 非负半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极坐标方程为

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;

? 2 ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 .
⑤函数 。 (1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 a 的取值范围: (2)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围. 其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号)

三、解答题

2019 届西藏林芝市第一中学 高三上学期第三次月考数学(理)试题

【点睛】 本题考查象限角的定义,熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键,属于基础 题.

数学 参考答案 1.C 【解析】 试题分析: B ? ? ?2, 2? ,所以 A 考点:集合交集.

答 案

5.D 【解析】 【分析】 先求出导函数,然后利用导数的几何意义求出切线斜率 k=y′|x=1,利用点斜式即可写出切线方

B ? ??2, ?1,0,1,2? .

程. 【详解】 ∵y=5x+lnx,

【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它 的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二 次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意 分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系, 集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意 区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 2.A 【解析】 3.A 【解析】 时, 为偶函数时, 是“ 4.C 【解析】 【分析】 根据二倍角公式可得到 所在象限. 【详解】 = 已知 sin2α >0, 三象限角. 故答案为:C. ,又因为 cosα <0,故得到 ,进而得到角是第 ,又因为 cosα <0,故得到 进而得到角 是偶函数,成立;但 ,推不出 ,故“ ”
z(2 ? i) ? 11 ? 7i,? z ? 11 ? 7i ? 3 ? 5i. 故选 A 2?i

∴y′=5+

,则切线斜率 k=y′|x=1=6,

∴在点(1,5)处的切线方程为:y﹣5=6(x﹣1), 即 y=6x﹣1.即 6x﹣y﹣1=0. 故选:D. 【点睛】 这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程;步骤一般为:一,对函数求导,代入 已知点得到在这一点处的斜率;二,求出这个点的横纵坐标;三,利用点斜式写出直线方程. 6.C 【解析】 【分析】

为偶函数”的充分而不必要条件,故选 A. 推导出 f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3= 【详解】 ,由此能求出结果.

∵函数

,∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)

= 故选:C. 【点睛】

本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.(1)此类 求值问题,一般要求的式子较多,不便逐个求解.求解时,注意观察所要求的式子,发掘它们之间的 规律,进而去化简,从而得到问题的解决方法;(2)已知函数解析式求函数值,可分别将自变量的值 代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时, 将代数式作为一个整体代 入求解;(3)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值 代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制. 7.D 【解析】 试题分析:因为 ,所以 ,切线方程为:

∴f′(x)<0. -3<x<0 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)>0. 由此知极小值为 f(-3). 0<x<3 时,y=x?f′(x)>0, ∴f′(x)>0. x>3 时,y=x?f′(x)<0, ∴f′(x)<0. 由此知极大值为 f(3). 故选 D.

,令 考点:导数几何意义 8.A 【解析】



,选 D.

11.B 【解析】 【分析】 先根据导数判断出函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,再由 f(0)f(2)<0 可知有唯一零 点.

试题分析:函数

的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍得到图象的解析

【详解】 由已知得:f′(x)=x(x﹣2a),由于 a>2,

式为

,再向右平移

个单位得到图象的解析式为

故当 0<x<2 时 f′(x)<0, 即函数为区间(0,2)上的单调递减函数,

=sin2x,

又当 a>2 时

当 x=

时,y=sinπ =0,所以

是函数 y=sin2x 的一个对称中心.故选 A.

f(0)f(2)=

﹣4a<0,

考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换;正弦函数的对称性. 9.B 【解析】

故据二分法及单调性可知函数在区间(0,2)上有且只有一个零点. 故选:B. 【点睛】

5? 4? 3T 5? ? , 2 )知, ? ( - - ) ,解得, T ? .又 6 6 3 4 6 6 2? 3 5? ? T ,所以 ? ? .从而排除答案 C、D.将点( , 2 )代入答案 A,等式不成立,故选 B. 因 ? 2 6
试题分析:由图中的点( -

?

, 0 )及点(

本题主要考查函数零点的判断定理.解答本题要结合函数的单调性判断. 12.A 【解析】 函数 , 的图象与 轴在原点处相切,

考点:由三角函数的部分图像求解析式. 10.D 【解析】 解:观察图象知,x<-3 时,y=x?f′(x)>0,



,得

或 根据题意,由函数的周期为 2 可得 f( )=(﹣ +2×252)=f(﹣ ),进而结

轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 合函数的奇偶性可得 f (﹣ +log25 中计算可得答案. 【详解】 即 故答案选 13. ? 3 【解析】试题分析: sin2? ? ?sin? ? 2cos? ? ?1? cos? ? ? ?? ? ,解得 或 (舍去) 根据题意,函数 f(x)的周期为 2,则 f( )=(﹣ +2×252)=f(﹣ ), ) =﹣f ( ) , 综合可得 f ( ) 的值, 将其代入 f ( )

4 ? ? tan2? ? tan ? ? tan ? 3 3 3
考点:三角函数公式 14.3 【解析】 试题分析:因为两个绝对值相加的函数的图象形状为,

1 2

2 ? 3

又由函数 f(x)为奇函数,则 f(﹣

)=﹣f(

),

故 f(

)=f(﹣

)=﹣f(

)=

=2﹣log25,

则 f(

)+log25=2;

故答案为:2. 【点睛】 本题考查函数的奇偶性以及周期性的运用,关键是综合运用函数的周期性与奇偶性,分析求出

f( 和 即关于两个转折点对应的横坐标的一半所在直线对称,又因为函数 f(x)=|x+1|+|x-a|=的图

)的值.函数奇偶性的判断,先要看定义域是否关于原点对称,接着再按照定义域验证 的关系,

16.① ④. 【解析】 【分析】 根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题 【详解】 对于①,由于 ,所以函数的最小正周期为 .因此命题①正确

a ? ? ?1? ? 1? a ? 3 象关于直线 x=1 对称,所以有 2
考点:奇偶函数图象的对称性 15.2 【解析】 【分析】

对于②,终边在

轴上的角的集合是

,因此命题②不正确

对于③, 在同一坐标系中, 由三角函数的性质可得, 函数 图象只有在原点处有唯一的公共点,因此命题③不正确

的图象和函数

的 (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α = 等类型可进行弦化切. ;形如 ,asin x+bsin xcos x+ccos x
2 2

对于④,把函数

的图象向右平移

,所得图象对应的解析式为 (2)“1”的灵活代换法:1=sin θ +cos θ =(sinθ +cosθ ) -2sinθ cosθ =tan
2 2 2 2 2

等.
2

,因此命题④正确

(3)和积转换法:利用(sinθ ±cosθ ) =1±2sinθ cosθ ,(sinθ +cosθ ) +(sinθ -cosθ ) =2 的 关系进行变形、转化.

对于⑤,函数 因此命题⑤不正确 综上可得所有正确命题的序号为① ④ 【点睛】

,函数在区间

上单调递增,

18.(1) 5 (2)

5 2
2 , 3

【解析】解:(1)∵0<A<π ,cosA= ∴sinA= 1 ? cos A =
2

本题主要考查了三角函数的的图象与性质及其变换,熟练掌握公式是解题的关键,本题较为基 础。

5 . 3 5 2 cosC+ sinC, 3 3

又 5 cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 17.(1)0; (2) 【解析】 【分析】 (1)根据诱导公式化简即可得到结果;(2)将原式子通分得到 4tan θ =1+tan θ ,再由二倍 于是 sinB= 5 cosC= 角公式得到 2sin θ cos θ = 【详解】 ,代入可得到结果. 由 a= 2 及正弦定理
2

.

∴tanC= 5 . (2)由 tanC= 5 ,得 sinC=

5 1 ,cosC= . 6 6

5 . 6

a = sinC ,得 c= 3 , sinA 1 5 acsinB= . 2 2
; (2) , .

设△ABC 的面积为 S,则 S= (1)原式= 19.(1) (2)∵tan θ + ,∴4tan θ =1+tan θ ,
2

【解析】 【分析】

∴sin 2θ =2sin θ cos θ = 【点睛】 三角函数求值与化简必会的三种方法

.

(1)对函数求导得到导函数,代入已知点得到参数值;(2)根据到函数的正负可得到函数的极 小值点为 x=2,由 f(2)=-5,得 c=-1. 【详解】 (1)由题设可得 f′(x)=3x +2ax+b.
2

∵f′(x)的图象过点(0,0),(2,0),∴

解得 a=-3,b=0. (2)由 f′(x)=3x -6x>0,得 x>2 或 x<0, ∴在(-∞,0)上 f′(x)>0,在(0,2)上 f′(x)<0,在(2,+∞)上 f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上递增,在(0,2)上递减,因此 f(x)在 x=2 处取得极小值. 所以 x0=2.由 f(2)=-5,得 c=-1,∴f(x)=x -3x -1. 【点睛】 这个题目考查了导数在研究函数的极值中的应用,极值点即导函数的零点,但是必须是变号零 点,即在零点两侧正负相反;极值即将极值点代入原函数取得的函数值,注意分清楚这些概念,再 者对函数求导后如果出现二次,则极值点就是导函数的两个根,可以结合韦达定理应用解答。
3 2 2

转化成证明当 m ? 2 时, f ( x) > ? ln 2 . 研究函数当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 . 证得 f ( x) ? f ( x0 ) , f ( x0 ) ? ex0 ?2 ? ln(2 x) = 得证. 第二种思路是:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e
x?m

1 1 ? x0 )2 ? ln 2 ? ? ln 2 . ? ln 2 ? 2 ? x0 = ( x0 x0

? e x ?2 ,根据 e x ? x ? 1 ,转化成

e x ?m ? e x ?2 ? x ? 1 .
构造函数 h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) ,研究得到函数 h( x) 在 x ? 1 时取唯一的极小值 即最小值为 h(1) ? ? ln 2 .达到证明目的.
x?m ? 试题解析:(1) f ?( x ) ? e

20.(1) 【解析】

(2)

1 ,由 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 , x
2分

即e

1? m

? 1 ? 0 ,所以 m ? 1 .

x ?1 于是 f ( x) ? e x?1 ? ln(2 x),(x ? 0) , f ?( x) ? e ? x ?1 由 f ??( x) ? e ?

1 , x

解: 由-1≤ 可知函数 ≤1,得-3≤ 的值域为[-3,1].……7 分 ≤1。

……5 分

1 ? 0 知 f ?( x ) 在 x ? (0, ??) 上单调递增,且 f ?(1) ? 0 , x2
4分

所以 x ? 1 是 f ?( x) ? 0 的唯一零点.

1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以,函数 f ( x) 在 (0,1) 上 因此,当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (
的周其为 w,又由 w>0,得 , 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. (2)解法一:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e 6分
x?m

(2)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知, 即得 w=2。 8 分 于是有 ,再由 。 11 分 所以 的单调增区间为[

? e x?2 ,
8分

,解得

故只需证明当 m ? 2 时, f ( x) > ? ln 2 .
x?2 当 m ? 2 时,函数 f ?( x ) ? e ?

1 在 (0, ??) 上单调递增, x

] 12 分

又 f ?(1) ? 0, f ?(2) ? 0 , 故 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有唯一实根 x0 ,且 x0 ? (1, 2) . 当 x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x) 取得最小值且 f ?( x0 ) ? 0 . 由 f ?( x0 ) ? 0 得 e
x?m
x0 ? 2

21.(1)函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. (2)见解析. 【解析】
1? m 试题分析:(1)根据 x ? 1 是 f ( x) 的极值点得 f ?(1) ? 0 ,可得导函数值为 0,即 e ? 1 ? 0 ,

10 分

求得 m ? 1 .进一步讨论导函数为正、负的区间,即得解; (2)可以有两种思路,一种是注意到当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e

?

?e

x?2



1 , ln x0 ? 2 ? x0 . x0

12 分

故 f ( x) ? f ( x0 )

(II)曲线 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 可化为 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 其参数方程为
2

f ( x0 ) ? ex0 ?2 ? ln(2x) =

1 1 ? x0 )2 ? ln 2 ? ? ln 2 . ? ln 2 ? 2 ? x0 = ( x0 x0
14 分
x?m

? x ? 3 ? 2 cos ? ?? 为参数 ? M ? x, y ? 为曲线上任意一点, ? ? y ? 2sin ?

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? ? ln 2 . 解法二:当 m ? 2 , x ? (0, ??) 时, e

? e x ?2 ,又 e x ? x ? 1 ,所以
8分

?? ? 3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? ? x ? y ? 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? x ? y 的取值范围是 ? ? ?. 4 ? ?
考点:1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化.

e x ?m ? e x ?2 ? x ? 1 .

取函数 h( x) ? x ? 1 ? ln(2 x)( x ? 0) ( x ? 0) ,h' ( x) ? 1 ?

1 , 当 0 ? x ? 1 时,h' ( x) ? 0 ,h( x) x

单调递减;当 x ? 1 时, h' ( x) ? 0 , h( x) 单调递增,得函数 h( x) 在 x ? 1 时取唯一的极小值即最小 值为 h(1) ? ? ln 2 . 12 分

所以 f ( x) ? e x?m ? ln(2x) ? e x?2 ? ln(2x) ? x ?1 ? ln(2x) ? ? ln 2 , 而上式三个不等号不能同时 成立,故 f ( x) > ? ln 2 . 14 分

考点:应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式,转化与划归思想.

? 22.(1) ? 0, ? ? ? ,? ? ;(2) ? ?3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? . ? 6? ? 6 ?
【解析】 试题分析:(1)将极坐标方程和参数方程转化为普通方程,再利用直线与圆的位置关系进行求 解;(2)利用三角换元法及三角恒等变换进行求解. 试题解析:(I)将曲线 C 的极坐标方程 ? ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 化为直角坐标方程为
2

? ??

? 5?

?

? x ? ?1 ? t cos ? ? x ? ?1 ? t cos ? t为参数 ? 将 ? 代入 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 直线 l 的参数方程为 ? ? ? y ? t sin ? ? y ? t sin ?
x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 整理得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0
?? ? 64 cos 2 ? ? 48 ? 0 ? cos ? ?
直线 l 与曲线 C 有公共点,

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? [0, ? ) ?? 的取值范围是

? ? ? ? 5? ? 0, ? ? ? ,? ? ? ? 6? ? 6 ?


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