18学年高中数学第二章平面向量3第1课时数乘向量课件北师大版必修4_图文


第1课时 数 乘 向 量

1.数乘向量 (1)定义:一般地,实数λ与向量 a 的积是一个 向量 ,记 作λa.它的长度和方向分别为: ①长度:| λa|= |λ||a| ; ②方向:当 λ>0 时,λa 与 a 的方向 相同; 当λ<0 时,λa 与 a 的方向 相反 ; 当λ=0 时, λa=0,方向 任意 . (2)几何意义: λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段在原方向(λ > 0)或反方向 (λ < 0)上伸长(|λ | > 1)或压缩(|λ| < 1)为原 来的 |λ| 倍.

1.数乘向量是数量还是向量? 提示:数乘向量仍是一个向量,它既有大小又有方向,
且与原向量共线. 2.当λ=0时,λa=0,那么当λ≠0时,若a=0,也有λa =0,对吗? 提示:正确. 3.向量共线定量为什么规定a是非零向量? 提示:是为了保证λ 的存在性与唯一性.若a=b=0时,实

数λ 仍然存在,但λ 是任意实数,不唯一;若a=0,b≠0时,则
不存在实数λ ,使b=λ a.

[尝试解答] (1)正确,∵2>0,∴2a 与 a 的方向相同, 且|2a|=2|a|; (2)正确,∵-2<0,5>0,∴-2a 与 5a 的方向相反, |-2a| 2|a| 2 2 又 = = ,∴|-2a|= ×|5a|; 5 |5a| 5|a| 5
1 1 1 1 1 (3)正确,因为|- a|= |a|=| a|,且- a 与 a 反向, a 与 2 2 2 2 2 a 同向; (4)错误,∵-(b-a)=-b+a =a-b,∴a -b 与-(b-a) 是相等向量,而不是相反向量.

1 1.如图,已知向量 a,b,c,求作向量 3a-2b+ c. 2

[尝试解答]

? 1 1?1?? ? ? ? (1)3?2?2a+8b??-??4a-2b???=3(a+4b-4a+2b) ? ?

1 =3(-3a+6b)=-a+2b=2b-a.故选 B. (2)∵a=b+c,∴3(a+2b)-2(3b+c)-2(a-b) =3a+6b-6b-2c-2a+2b =a+2b-2c=b+c+2b-2c=3b-c.

答案:(1)B

(2)3b-c

1.向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的

运算.其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运
算法则,但它们的具体含义是不同的,不过由于它们在形式上 类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形 手段在向量的线性运算中都可以使用. 2.若需要结合几何图形进行向量的线性运算,则要注意

使用三角形法则或平行四边形法则,并正确利用数乘向量的几
何意义,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求 解.

1.向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否 共线,进而可解决诸点是否共线问题.

2.利用向量证明三点共线时,一般是把“共线”问题转
化为“向量关系a=λb”,通过向量关系得到“三点共线”的 结论. 3.利用向量共线的性质定理,并结合向量的线性运算, 可由向量共线(或三点共线)求相关的参数的值.

1.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是( A.a与-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a与λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a
解析:选 C 对于 A,∵λ 的正反未定, ∴a 与-λa 的方向可能相同,也可能相反,∴A 不正确; 对于 B,|-λa|=|λ|×|a|,λ 的值未定,有可能|λ|×|a|<|a|,如 1 1 λ=2时,2|a|<|a|,∴B 不正确; 对于 C,∵λ≠0,∴λ2>0,∴a 与 λ2a 的方向相同,C 正确; 对于 D,|-λa|=|λ|×|a|是一个实数,而|λ|a 是一个向量,二 者不能相等,∴D 不正确.

)

1 2 4. 若向量 a=3i-4j, b=5i+4j, 则( a-b)-3(a+ b)+(2b 3 3 -a)=________.
1 2 解析:(3a-b)-3(a+3b)+(2b-a) 1 11 =( -3-1)a+(-1-2+2)b=- a-b 3 3 11 44 =- 3 (3i-4j)-(5i+4j)=(-11-5)i+( 3 -4)j 32 =-16i+ 3 j.

答案: -16i+

32 j 3

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6.已知向量 a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在非零实数 λ,μ,使 d=λa+μb 与 c 共线?
解:∵d=λa+μb =λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2) =(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2, 要使 d 与 c 共线,则应存在实数 k,使 d=kc, 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,
? ?2λ+2μ=2k, ∴? ? ?-3λ+3μ=-9k,

∴λ=-2μ.

故存在非零实数 λ,μ,只要 λ=-2μ 就能使 d 与 c 共线.

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