2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1第2章 2.4.1 抛物线的标准方程_图文


第2章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程 第2章 圆锥曲线与方程 学习导航 学习 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.(重点) 目标 2.会求简单的抛物线的方程.(难点) 1.通过观察抛物线的形成过程,得出抛物线定义, 学法 建系得出抛物线标准方程. 指导 2.通过抛物线及其标准方程的应用,体会抛物线 在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 1.抛物线的定义 相等 的 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离_______ 定直线 l 点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,_________ 叫 做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如 下: 标准方程 焦点坐标 p F( ,0) 2 p F(- , 0) 2 p F(0, ) 2 p F(0,- ) 2 准线方程 p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y= 2 图形 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p 1.抛物线 y =2px(p> 0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a> ),则 2 p a- 2 点 M 的横坐标是 ________ . 2 2.已知直线 l1: 4x-3y+6= 0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2 = 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 2 ________ . 3.焦点在 y 轴上,且过点 A(1,-4)的抛物线的标准方程是 1 2 x =- y 4 . ________ 求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是F(-5,0); (2)经过点A(2,-3); (3)焦点到准线的距离为4. (链接教材P47例2) [解](1)焦点在 x 轴负半轴上,设抛物线的标准方程为 y2=- p 2px,则 =5,即 p=10,所以所求抛物线的标准方程是 y2=- 2 20x. (2)经过点 A(2, - 3)的抛物线可能有两种标准形式: x2=-2py 或 y2=2px.点 A(2,- 3)坐标代入 y2= 2px,即 9=4p,得 2p 9 = ; 2 4 2 点 A(2,-3)坐标代入 x =- 2py,即 4= 6p,得 2p= . 3 9 4 2 2 ∴所求抛物线的标准方程是 y = x 或 x =- y. 2 3 (3)由题意 p= 4,故抛物线的标准方程有四种形式:y2= 8x、 y2=- 8x、x2= 8y、 x2=-8y. [方法归纳] 利用待定系数法求抛物线的标准方程的一般流程:定类型; 设方程;算参数.由于抛物线的标准方程有四种不同形式, 故解题中要注意类型的确定,通常通过图形定类型.当抛物 线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就惟一确 定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的 标准方程就会有多解. x 2 y2 1.(2012· 高考山东卷改编 )已知双曲线 C1: 2- 2= 1(a>0,b>0) a b 的离心率为 2.若抛物线 C2: x2= 2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的 x2=16y 渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为_________________ . b c 解析: 双曲线的渐近线方程为 y= ± x, 由于 = a a a2+b2 2 = a b b 1+( ) 2= 2,所以 = 3,所以双曲线的渐近线方程 a a p 2 p 为 y= ± 3x.抛物线的焦点坐标为(0, ),所以 = 2,所以 p 2 2 = 8,所以抛物线方程为 x2= 16y. 由方程求抛物线的焦点与准线 根据抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2= 8x; (2)2x2- 3y= 0; 1 2 (3)y=- x . 6 (链接教材 P47 例 1) p [解 ](1)由方程知,焦点在 x 轴正半轴上, 2p= 8, = 2,所 2 求抛物线的焦点坐标为(2, 0),准线方程为 x=-2. 3 (2)把方程化为标准方程为 x = y, 故焦点在 y 轴正半轴上, 2 3? 3 p 3 ? 2p= , = ,故所求抛物线的焦点坐标为 0,8 ,准线方 2 2 8 ? ? 3 程为 y=- . 8 2 (3)把方程化为标准方程为 x2=-6y,故焦点在 y 轴负半轴 3? p 3 ? 0 ,- 上,2p= 6, = ,故所求抛物线的焦点坐标为 2 ?, 2 2 ? 3 准线方程为 y= . 2 [方法归纳] 已知抛物线方程求抛物线的焦点坐标、准线方程,一定先要 把方程化为标准方程,根据一次项系数的符号确定焦点、准 线位置,进而利用焦点、准线与一次项系数的关系确定焦点、 准线方程. 2.求抛物线y=2ax2的焦点坐标. 解:抛物线方程可化为 x2= 1 y, 2a 1? 1 ? ∴ (1)a>0 时, p= ,焦点坐标为?0,8a?; 4a 1? 1 ? (2)a<0 时,p=- ,焦点坐标为?0,8a?. 4a 1? ? 综上可知,抛物线 y=2ax 的焦点坐标为?0,8a?. 2 抛物线定义的应用 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点, 又有点A(3,2),求PA+PF的最小值,并求出取最小值时P点 的坐标. 解] 将 x= 3 代入抛物线方程得 y=± 6,∵ 6>2,∴点 A 在抛物线内部,如图. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知 PA+ 2 PF= PA+d, 7 由图知,当 PA⊥ l 时,PA+ d 最小,最小值为 ,即 PA+PF 的 2 7 最小值为 , 2 此时 P 点纵坐标为 2,则横坐标为 2. ∴ P(2,2). [方法归纳] 由于抛物线上的

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