《金版新学案》高一数学 第二章 2.3幂函数课件 新人教A版


2.3

幂函数

1.形如 y=ax是指数函数,定义域R,值域 (0,+∞) . 2.形如y=logax是对数函数,定义域 (0,+∞) ,值域R.

1.幂函数的概念 函数y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数. 2.幂函数的图象 在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1 的图象如图.

3.幂函数的图象与性质

幂函数

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1



象 定义域

(-∞,0)∪
R R R [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0)∪ R [0,+∞) R [0,+∞) (0,+∞)

值域

奇偶性







非奇非偶



x∈[0,+∞)时,
增 单调性 增 x∈(-∞,0]时, 减 增 增

x∈(0,+∞)时,
减 x∈(-∞,0)时, 减

定点

(0,0) (1,1)

(0,0) (1,1)

(0,0) (1,1)

(0,0) (1,1)

(1,1) (-1,-1)

1.幂函数的图象能过第四象限吗?

【提示】 对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有y>0,故幂
函数图象不过第四象限.

1 2. 函数 y=3x , y= 2, y=2 都是幂函数吗? x
2

【提示】

1 y= 2,即 y=x-2 是幂函数;而 x

函数 y=3x2 及 y=2 均不符合幂函数的形式 y=xα, 故均不是幂函数.

当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x2m-1为增函数,求实数m的值. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①f(x)=(m2-m-1)x2m-1是幂函数;

②当x>0时,f(x)是增函数.
解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确定m. 【解析】 ∵函数y=(m2-m-1)x2m-1为幂函数,

∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.
又∵函数f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴2m-1>0,即m>1/2,

故m=-1,舍去,∴m=2.

幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为
自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函 数的重要依据和唯一标准.对本例来说,还要根据单调性验根,以

免增根.

1.本例中将条件“增函数”改为“减函数”,求m的值.
【解析】 若函数f(x)为(0,+∞)上的减函数 则2m-1<0,∴m<1/2,

故m=2,舍去,∴m=-1.

(1)求定义域;

(2)判断奇偶性;
(3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,并 由图象确定单调区间.

【思路点拨】 由题目可以获取以下信息:
函数解析式―→函数有意义

(1)在研究幂函数的定义域时,通常将分数指数幂化为根式形式,负 整数指数幂化为分式形式,然后由根式、分式有意义求定义域; (2)画幂函数图象可先画出第一象限的部分,再由定义域、单调性、 奇偶性得出其他象限的图象.

2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),试求函数的解析式, 并说明函数的单调性. 【解析】 由幂函数的概念设f(x)=xα,则由4α=2得α=1/2, 故函数解析式为f(x)=x1/2 (x≥0),在[0,+∞)上是增函数.

若(3-2m)1/2 >(m+1)1/2,求实数m的取值范围.
【思路点拨】 由题目可以获取以下主要信息: ①所给不等式两边幂指数相同;

②可以确定幂函数的单调性.
解答本题可以利用已知条件列出不等式组求出字母m的取值范围.

【解析】 考察幂函数 y=x1/2,因为它在区 间[0,+∞)上是增函数,

?3-2m≥0 ? 2 所以有?m+1≥0 ,解得-1≤m<3, ?3-2m>m+1 ?
2? 即 m 的取值范围为 -1,3?. ? ?
? ? ? ?

利用函数的单调性时一定要注意函数的定义域.本题若没有注 意到幂函数y=x1/2的定义域为[0,+∞),求解时就会得出m<2/3这一 错误结果.

1 1 3.若(3-2m)- >(m+1)- ,求实数 m 的取 3 3 值范围.

1 【解析】 由幂函数 y=x-3的图象及性质,在 (0,+∞)及 (-∞,0)上是减函数 m+1>3-2m>0 或 3-2m<m+1<0
?3-2m>0 或? ?m+1<0

2 3 解得: <m< 或 m<-1. 3 2

1.幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点 (1,1),幂函数图象不过第四象限.

(2)α>0时,①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1);②并且在[0,
+∞)上都是增函数. (3)α<0时,①幂函数的图象都通过点(1,1);

②在[0,+∞)上都是减函数;
③在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.

幂函数在第一象限内指数变化规律: 在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大 变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.

已知x2>x1/3,求x的取值范围. 【错解】 由于x2≥0,x1/3∈R,则由x2>x1/3,可得x∈R.

【错因】 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征,尤其 是y=xα在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布. 【正解】 作出函数y=x2和y=x1/3的图象(如图所示),易得x<0 或x>1.

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