2009届江西省高三数学模拟试题分类汇编圆锥曲线


2009 届江西省高三数学模拟试题分类汇编圆锥曲线
一 选择题 1.(江西琴海学校 09 届高三第三次月考)
x
2 2

? y

2

?1

已知双曲线 a 线方程是
x ? ? 3 2

?a

? 0?

的一条渐进线与直线 2 x ? y ? 3 ? 0 垂直,则该双曲线的准

x ? ?

5 2

x ? ?

4 3 3

x ? ?

4 5 5

A.

B.

C.

D.

答案:D 2 (江西浮梁一中高三第二次月考)
x
2

?

y

2

?1

设 M 是双曲线 6

3

的左支上一点, ) C、
6

F2

是右焦点,M

F2

| O N |?

6 2 ,

的中点为 N 且

则 M 到右准线的距离是( A、6 B、3

D、 3

答案: A 3.(江西九江六校 09 年度第一次联考) 双曲线 C:mx2+y2=1 的虚轴长是长轴长的 2 倍,那么其离心率的大小为(
5



A、 3

B、 2

C、2

D、 5

答案:D 4.(江西九江六校 09 年度第一次联考)给定抛物线 C:y2=4x,F 是其焦点,过 F 的直线 l:y=k (x-1) ,它与 C 相交于 A、B 两点。如果 FB ? ? AF 且 (
[ 8 ,

? ?[

1 16

,

1

] 4 。那么 k 的变化范围是


4 ] [? 4 3 ,? 8 15 4 3 8 15 ]

A、 15 3
[ 8 , 4 ] ? [? 4 3 ,? 8 15 ]

B、

( ?? , ?

]?[

, ?? )

C、 15 3

D、

答案:C 5 . ( 江 西 信 丰 中 学 高 三 年 级 第 一 次 月 考 ) 椭 圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的中心、右焦点、右顶点、右准线与 x 轴的交点依次为 O、F、A、

| FA |

H,则 | OH | 的最大值为(



1

1

1

A. 2

B. 3

C. 4

D.1

答案:C 二 填空题 1.(江西省五校 09 届第二次月考)
1 ? 2 n ? 1( m ? 0 , n ? 0 ), 则当 mn 取得最小值时,椭圆 x m
2 2

?

y n

2 2

?1

已知 m 是
3

的离心率



答案:

2

3.(江西新干中学高三期末考试)
x
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

已知 F1 、F2 是椭圆 a
2

的两个焦点,椭圆上存在一点 P,使得 S ⊿ 。

F1PF2= 3b ,则该椭圆的离心率的取值范围是
[ 3 2 , 1)

答案:

4.(江西九江六校 09 年度第一次联考) 直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,O 为原点。如果 OA ? OB ? ? 4 ,那么直线 l 恒经过 的定点 M 的坐标是 答案:(2,0) 三 解答题 1. (江西赣州市十县(市)重点中学 09 年上学期联考) 已知两定点
F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ),

满足条件

??? ? ??? ? PF 2 ? PF 1 ? 2

的点 P 的轨迹

是曲线 E,直线y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (1)求k的取值范围; (2) 如果
??? ? AB ? 6 3,

C 且曲线 E 上存在点 C, O O m ? 使 A ?B O

??? ?

??? ?

???? ,

求 m 的值及点 C 的坐标.

(1) 解: 由双曲线的定义可知, 曲线 E 是以 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) 为焦点的双曲线的左支, 且c ?
2,a ? 1

,易知 b=1,故曲线 E 的方程为 x ? y ? 1( x ? 0 ) .…2 分
2 2

? y ? kx ? 1, ? 2 2 x ? y ? 1, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 设 ,由题意建立方程组 ?

消去 y,得 (1 ? k ) x ? 2 kx ? 2 ? 0 .又已知直线与双曲线左支交于两点 A,B,有
2 2

?1 ? k 2 ? 0 ? 2 2 ? ? ? ( 2 k ) ? 8 (1 ? k ) ? 0 ? ? 2k ? x1 ? x 2 ? ? 0 2 1? k ? ? ? 2 ? 0 ? x1 ? x 2 ? 2 1? k ?

解得 ? 2 ? k ? ? 1 .…………6 分 (2)∵
? 1? k
2

AB ?

1? k
2

2

? x1 ? x 2 ?

1? k

2

?

? x1 ?

x 2 ? ? 4 x1 x 2

?

?2 ? ?2k ? ? 4? ? 2 ? 2 1? k ?1? k ?
2 2

? 2

?1 ? k ? ? 2 ? k ? ?1 ? k ?
2 2

2

?1 ? k ? ? 2 ? k ?
2 2

依题意得

?1 ? k ?
2

2

? 6 3



4 2 整理后得 2 8 k ? 5 5 k ? 2 5 ? 0 .

k

2

?

5 7

或k

2

?

5 4



但 ? 2 ? k ? ?1, ∴
5

k ? ?

5 2 .

x ? y ? 1 ? 0.

故直线 A B 的方程为 2 设
C (x0 , y0 )

……………8 分

,由已知 OA ? OB ? m OC , 得 ,

? x1 , y 1 ? ? ? x 2 , y 2 ? ? ? m x 0 , m y 0 ?

? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? , ? ? ?x0 , y 0 ? =? m m ? ,? m ? 0 ? . ∴
x1 ? x 2 ? ? 2k 1? k
2

? ?4 5


2k
2 2

y 1 ? y 2 ? k ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?

k ?1

?2 ?

2 k ?1
2

?8



? ?4 5 8 ? ∴点 C? , ? ? m m ? ? ?.

80

将点 C 的坐标代入曲线 E 的方程,得 m

2

?

64 m
2

? 1得 m ? ? 4

但当 m=-4 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意 ∴ m ? 4 ,点 C 的坐标为 ( ? 5 , 2 ) 。…………12 分 2.(江西省五校 09 届第二次月考)
2

椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 y 轴上,焦点到相应的准线的距离以及离心率均为 2 ,直
??? ? ??? ? l 与 y 轴交于点 P (0 , m ) ,与椭圆 C 交于相异两点 A , B .且 A P ? ? P B . 线

(1)求椭圆方程;
??? ? ??? ? ??? ? O A ? ? O B ? 4 O P ,求 m 的取值范围. (2)若
y a
2
2 2

C :

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ),

解: (1)设
a
2

设 c ? 0 , c ? a ? b ,由条件知
2 2 2

?c ?

b

?

2 2

,

c a

?

2

? a ? 1, b ? c ?

2 2 ,故 C 的方程为:

c

c

2 ,

y

2

?

x

2

1 2

?1

……… 4 ? 得
??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? ? ( OB ? OP ) ? (1 ? ? )O P ? O A ? ? O B

(2)由 AP ? ? PB
? ? ?1 ? 4



, ? ?3

设 l 与椭圆 C 交点为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )
? y ? kx ? m ? 2 2 ?2 x ? y ? 1
? ? ( 2 km ) ? 4 ( k
2 2

得 ( k ? 2 ) x ? 2 km x ? ( m ? 1) ? 0
2 2 2

? 2 )( m

2

? 1) ? 4 ( k
2 2

2

? 2m

2

? 2) ? 0

(*)

x1 ? x 2 ?

? 2 km k
2

? 2 ,

x1 x 2 ?

m k

?1 ? 2

因 AP ? 3 PB 即 ? x 1 ? 3 x 2
? 3( ? 2 km k
2

? x1 ? x 2 ? ? 2 x 2 ? 2 ? x1 x 2 ? ? 3 x 2

消 x 2 得 3 ( x 1 ? x 2 ) ? 4 x 1 x 2 =0
2

? 2

) ? 4
2

m k

2 2

?1 ? 2
2

? 0

整理得 4 k m ? 2 m ? k ? 2 ? 0
2 2 2
2

m

?

1 4 时,上式不成立;

m

2

?

1 4 时,

k

2

?

2 ? 2m 4m
2

2

?1

,由(*)式得 k ? 2 m ? 2
2 2

因? ? 3? k ? 0
?1? m ? ? 1

?k

2

?

2 ? 2m
2

2

4m ? 1

? 0

1

?

? m ?1

2 或2 1 2 1 2

( ? 1, ?

)? (

,1)

即所求 m 的取值范围为

3.(江西新干中学高三期末考试) 如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2,1) ,且与 x 轴交于点 A,定点 B
2

的坐标为(2,0) 。 (I)若动点 M 满足
AB ? BM ? 2 AM ? 0

,求点 M 的轨迹 C;

(II)若过点 B 的直线 l ? (斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求 ? OBE 与 ? OBF 面积之比的取值范围。

x

2

? 4 y得 y ?

1 4

x ,

2

? y? ?

1 2

x.

解: (I)由

故 l 的方程为 y ? x ? 1,? 点 A 的坐标为(1,0) 设
M ( x , y ), 则 AB ? (1, 0 ), BM ? ( x ? 2 , y ), AM ? ( x ? 1, y )
AB ? BM ?
2



2 AM

? 0得 ( x ? 2) ? y ? 0 ?

2 ?

( x ? 1) ? y
2

2

? 0

x

? y

2

?1

整理 2

? 动点 M 的轨迹 C 为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为

2

2 ,短轴长为 2 的椭圆。

(II)如图,由题意知 l ? 的斜率存在且不为零, 设 l ? 方程为 y ? k ( x ? 2 )( k ? 0 )
? y ? k ?x ? 2? ? ? 2 2 ?x ? 2y ? 2 由?
y1 ? y 2 ? ?

E ( x1 , y1 )

、 F (x2 , y2 ) ,
1 2

?2k 消去 y 得,
4k 2k ? 1
2

2

? 1 y ? 4 ky ? 2 k
2

?

2

? 0

? ? 0? 0? k

2

?

.

,
BE , BF

, y1 y 2 ?

2k
2

2

2k ? 1 令

,

? ?

S ? OBE S ? OBF

,则 ? ?

? y1 , y 2

?? ?

y1 y2

,

同号,
1 ? y1 y2
4? ?

且0 ? ? ? 1,
2 2

?? ?

?

?

y2 y1
1 2

?

y1 ? y 2 y1 y 2

?

? y1 ?

y2 ?

2

?2 ?

8 2k ? 1
2

?2

y1 y 2
1 2

k

2

?

?

(1 ? ? )

2

.

?0 ? k

2

?

,

?0 ?

4? (1 ? ? )
2

?

1 2

?

1 2

,

解得 3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 .

又? 0 ? ? ? 1,? 3 ? 2 2 ? ? ? 1,
2 ,1)

? ? OBE 与 ? OBF 面积之比的取值范围是 ( 3 ? 2

4.(江西信丰中学高三年级第一次月考) 已知抛物线 C : y ? ax ,点 P(1,-1)在抛物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条直
2

线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且满足 k1+k2=0. (I)求抛物线 C 的焦点坐标; (II)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程. 解: (I)将 P(1,-1)代入抛物线 C 的方程 y ? ax 得 a=-1,
2

∴抛物线 C 的方程为 y ? ? x ,即 x ? ? y .
2 2

1

焦点坐标为 F(0,- 4 ).……………………………………4 分 (II)设直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k 1 ( x ? 1) ,
? y ? 1 ? k 1 ( x ? 1 ), ? 2 2 y ? ?x . 联立方程 ? 消去 y 得 x ? k 1 x ? k 1 ? 1 ? 0 ,

则 1 ? x 1 ? ? k 1 ? 1, 即 x 1 ? ? k 1 ? 1 . 由 ? ? k 1 ? 4 ( ? k 1 ? 1) ? ( k 1 ? 2 ) ? 0 , 得 k 1 ? ? 2 . ………………6 分
2 2

同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? k 2 ( x ? 1),
? y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), ? 2 ?y ? ?x .

联立方程

消去 y 得 x ? k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 ,
2

则 1 ? x 2 ? ? k 2 ? 1, 即 x 2 ? ? k 2 ? 1 .且 k 2 ? ? 2 . 又? k 1 ? k 2 ? 0 ,? k 1 ? 2 . …………………………8 分
BM ? MA , 则 x ? x1 ? x 2 2

.

设点 M 的坐标为(x,y) ,由
x ? ? k1 ? 1 ? k 2 ? 1 2 ? ? 2 ? (k1 ? k 2 ) 2

.

又? k 1 ? k 2 ? 0 ,? x ? ? 1 . …………………………………………10 分
y ? y1 ? y 2 2 ? ? ( k 1 ? 1 ) ? ? 1,
2

?

? x1 ? x 2
2

2

?

? ( k 1 ? 1) ? ( ? k 2 ? 1)
2

2

?

? ( ? k 1 ? 1) ? ( k 1 ? 1)
2

2

2

2

2

又 k 1 ? ? 2 ,? y ? ? 5 .

∴所求 M 的轨迹方程为: x ? ? 1( y ? ? 1且 y ? ? 5 ). …………………………12 分


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