【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修3配套课件:2.3 变量间的相关关系(数学备课大师网 为您整理)_图文


2.3 变量间的相关关系

【学习目标】 1.了解相关关系的概念. 2.会利用散点图直观地判断两个变量之间是否有较强的线 性关系. 3.了解最小二乘法的思想,并能根据给出的线性回归方程 系数公式求线性回归方程.

1.相关关系的概念
不确定 关系, 相关关系是指变量之间存在某种程度上的________ 随机性 即当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的________. 2.两个变量的线性相关 (1)散点图: 将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角 坐标系中,以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 叫做散点图.

(2)正相关、负相关的概念: 如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也是由小 正相关 ;反之,如果一个变量的 变大,那么这种相关称为__________ 值由小变大时,另一个变量的值是由大变小,那么这种相关称

负相关 为__________.
(3)回归直线方程:

定义:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 线性相关关系 ,这 附近,那么我们就称这两个变量之间具有______________
回归直线 条直线叫做____________.

对一组具有线性相关关系的样本数据: (x1, y1), (x2, y2), ?, ^x+a ^,其中 (xn,yn),设其回归方程为^ y =b ? n n ? ? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y ? i=1 i=1 ? ^= = , ?b n n ? 2 ? ?xi2-n x 2 ? ? x i- x ? i=1 i= 1 ? ? ^= y -b ^x. ? ?a

练习:有关线性回归的说法,不正确的是( D )

A.相关关系的两个变量是非确定关系
B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.散点图中的点越集中,两个变量的相关性越强

3.最小二乘法 通过求 ? (yi-bxi-a)2的最小值而得到回归直线的方法,
i ?1 n

叫做最小二乘法.

【问题探究】

回归直线方程的预测值^ y与实际值 y 为什么会产生误差?
答案:(1)回归直线方程中的截距与斜率都是通过样本估计 出来的,存在随机误差. ^x+a ^+e=^ (2)实际上,y=b y+e,这里的 e 是随机变量,而
^ y与 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差决定.

题型 1 相关关系的概念 【例 1】 下面两个变量之间的关系是相关关系的是( A.正四面体的棱长与体积 B.电压一定时,电流与电阻 )

C.两地距离一定,车辆运行的平均速度与运行的时间
D.数学成绩与物理成绩 思维突破:函数关系是确定性关系,是因果关系. 答案:D

【变式与拓展】
1.下列关系不是相关关系的是( B ) A.日照时间与水稻亩产量 B.圆的半径与圆的内接正三角形的面积 C.父母的身高与子女的身高 D.降雪量与交通事故的发生率

题型 2 求线性回归方程 【例 2】 一车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所 花费的时间,为此进行了实验,收集数据如下表: 零件数 x/个 加工时间

10
62

20
68

30
75

40
81

50
89

60
95

70

80

y/分钟

102 108

(1)画出散点图; (2)求回归方程; (3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?

思维突破:作散点图进行判断,若是线性相关,则利用公 式计算回归系数. 解:(1)散点图如图 D16.

图 D16

(2)列表如下: xi yi x iy i 10 62 620 100 20 30 40 50 60 70 102 7140 4900 80 108 8640 6400 68 75 81 89 95 1360 2250 3240 4450 5700 400 900 1600 2500 3600

x2 i

? x y ? 8x y
^= x =45, y =85,b
i ?1 8 i i

8

?x
i ?1

2 i

^=- ^ x ≈55 ? 8 x ≈0.667,a y -b

2

所以 y 关于 x 的回归方程为^ y=0.667x+55.

(3)由回归直线方程,可知:每增加 1 个零件,加工时间平 均增加 0.667 分钟.

求回归直线方程的步骤: ①列表; ②计算 x ,y ,
2 ^,a ^的值;④写出回归直 , x y x ? i i ? i 的值;③代入公式计算b i ?1 i ?1 n n

线方程.

【变式与拓展】 2.(2013 年广东六校一模)已知 x,y 取值如下表:

x

0

1

4

5

6

8

y

1.3

1.8

5.6

6.1

7.4

9.3

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且^ y=0.95x+

a,则 a=( B )
A.1.30 C.1.65 B.1.45 D.1.80

题型 3 利用回归直线对总体进行估计 【例 3】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品 过程中记录的产量 x(单位:吨)与相应的生产能耗 y(单位:吨标 准煤)的几组对照数据:

x/吨 y/吨

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图;
(2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线

^x+a ^; 性回归方程^ y=b

(3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨 标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测技改后生产 100 吨 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 思维突破:获得线性回归方程后,用解释变量的取值,对 总体进行估计. 解:(1)散点图如图 D17.

图 D17

(2)对照数据计算,得 x =4.5, y =3.5, ? xi yi =66.5, ? xi2 =86,
i ?1 i ?1 4 4

^= ∴b

? x y ? 4x y
i ?1 4 i i

4

?x
i ?1

2 i

? 4x

2

66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 86-4×4.52

^= y -b ^ x =3.5-0.7×4.5=0.35. a 故所求的回归方程为^ y=0.7x+0.35. (3)当 x=100 时,^ y=0.7×100+0.35=70.35(吨). 故预测技改后生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨标准煤).

【变式与拓展】 3.某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数

据: 年份/年
需求量/万吨 2006 236 2008 246 2010 257 2012 276 2014 286

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程

^ ^x+a ^; y=b
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2016 年的粮食需 求量.

解:(1)由所给数据,需求量与年份之间的关系是近似直线
上升,为此对数据处理如下表: 年份-2010 -4 -2

0
0

2
19

4
29

需求量-257 -21 -11 对处理后的数据计算,得

1 n 1 n x =n ? xi =0, y =n ? yi =3.2. i ?1 i ?1 ^= b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

260 ^= y -b ^ x =3.2. = 40 =6.5,a

所求回归直线方程为 y-257=b(x-2010)+a=6.5×(x- 2010)+3.2,即 y=6.5(x-2010)+260.2. (2)当 x=2016 时,y=6.5×(2016-2010)+260.2=299.2(万 吨),即该地 2016 年的粮食需求量为 299.2 万吨.

【例 4】 观察下列变量 x,y 的散点图:

图 2-3-1

图 2-3-1 所示的两个变量具有相关关系的是(

)

A.(2)(3)
C.(2)(4)

B.(1)(2)
D.(3)(4)

易错分析:误认为(4)不具有相关关系,而误认为(3)具有相
关关系. 解析:(3)是严格地共线点,是确定的关系,即函数关系, (4)的散点图大致在一抛物线上. 答案:C

[方法· 规律· 小结] 1.两变量之间的关系分两类. (1)确定性的函数关系.例如以前学习过的一次函数、二次函 数等. (2)带有随机性的变量间的相关关系.例如:“身高者,体也 重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.

两者的相同点是均指两变量间的关系.不同点是函数关系
是一种确定关系,相关关系是一种不确定关系,具有随机性; 函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也 可能是伴随关系.

2.根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判

断两个变量是否具有相关关系.
如果散点图中变量的对应点分布在某条直线的周围,我们 就可以得出结论:这两个变量具有相关关系.如果变量的对应点

分布没有规律,我们就可以得出结论:这两个变量不具有相关
关系.

3.求样本数据的线性回归方程的一般步骤. 第一步:计算平均数 x , y . 第二步:求 ?xiyi, ?x2 i 的值.
i=1 i=1 n n

^= 第三步:计算b

i=1

? ?xi- x ??yi- y ? ?xiyi-n x y
i =1

n

n

i=1

? ?xi- x ?

n


2

i=1

2 - n x ?x 2 i

n

^= y -b ^x. ,a

^x+a ^. 第四步:写出回归方程^ y =b


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