广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 立体几何试题精选23


立体几何 23
一、选择题: 1.已知平面 ? 截一球面得圆 M,过圆心 M 且与 ? 成 60 0 ,二面角的平面 ? 截该球面得圆 N,若 该球的半径为 4,圆 M 的面积为 4 ? ,则圆 N 的面积为 (A) 7? 【答案】D 【解析】 :由圆 M 的面积为 4? 得 MA ? 2 , OM 2 ? 42 ? 22 ? 12 (B) 9? (c) 11? (D) 13?
N 60° M O

B

A

? OM ? 2 3 ,在 Rt?ONM中,?OMN ? 300
2 1 ? ON ? OM ? 3, r= 42 ? 3 ? 13 ? S圆N ? 13? 故选 D 2

2.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是

A.8 【答案】C

B. 6 2

C.10

D. 8 2

-1-

二、填空题: 3.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中的俯视图如右图所示,

左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是____________.

4. 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥

O ? ABCD 的体积为



-2-

5.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则这个几何体 的体积为__________ m3 【答案】 6 ? ? 【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为 3m,宽为 2m, 高 为 1m), 上 面 有 一 个 圆 锥 ( 底 面 半 径 为 1, 高 为 3), 所 以 其 体 积 为

1 V长方体 ? V圆锥 ? 3 ? 2 ?1 ? ? ? 3 ? 6 ? ? . 3

6.如图,半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,求球的表面积与该圆柱的 侧面积之差是 .

答案: 2? R

2

解析: S侧 ? 2? r ? 2 R ? r ? 4? r ( R ? r ) ? S侧 max 时,
2 2 2 2 2

r 2 ? R2 ? r 2 ? r 2 ?

R2 2 ?r ? R ,则 4? R 2 ? 2? R 2 ? 2? R 2 2 2

7.己知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B2C3D4 的棱 BB1 、CC1 上,且 B1E=2EB, CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于 .

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8.三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于______。 【答案】 3

9.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为 【答案】



3 ?; 3

三、解答题 1. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ ACB= 90 ? ,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥B C,EG∥AC.AB=2EF. (Ⅰ)若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABF E;

(Ⅱ)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小. 【解析】 (Ⅰ)连结 AF,因为 EF∥AB,FG∥BC, EF ∩ F G =F, 所 以 平 面 EFG ∥ 平 面 ABCD, 又 易 证 ?EFG ∽

?ABC ,
所以

FG EF 1 1 1 ? ? ,即 FG ? BC ,即 FG ? AD ,又 M 为 AD BC AB 2 2 2

-4-

的中点,所以 AM ?

1 AD ,又因为FG∥BC∥AD,所以FG∥AM,所以四边形 AMGF 是平 2

行四边形,故 GM∥FA,又因为GM ? 平面ABFE,FA ? 平面ABFE,所以GM∥平面ABF E.

2.如图:在 ? ABC中,?ABC=60 , ?BAC=90 ,
0 0

AD是BC上的高 ,沿 AD 把 ? ABD 折起,
使 ?BDC=90 (Ⅰ)证明:平面 ADB ? 平面BDC ;
0

(Ⅱ)设 E为BC的中点,求AE与DB夹角的余弦值 。 【解析】 : (Ⅰ)? 折起前 AD是BC边上的高 ,

?? ? ??? ?

? 当 ? ABC折起后,AD ? DC,AD ? DB,又DB ? DC=D

? AD ? 平面BDC,? AD ? 平面ABD,?平面ABD ? 平面BDC 。

-5-

(Ⅱ)由 ?BDC=90 及(Ⅰ)知 DA, DB, DC 两两垂直,
0

不妨设 DB ? 1, D 为坐标原点,以 DB, DC, DA所在直线为x, y, z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系,易得 A(0, 0, 3), E ( , , 0),

??? ? ???? ??? ?

1 3 2 2 ??? ? 1 3 D(0,0,0), B(1,0,0), C(0,3,0), ? AE ? ( , , ? 3), 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? DB ? (3,0,0) ? AE与DB 夹角的余弦值为

1 ???? ???? ? ??? ? ??? ? AE ?DB 22 cos ? AE, DB ?? ??? ? ??? ? ? 2 ? 22 22 AE ? DB 4
0 3.如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ⊥ ACD , AB ⊥ BC , AD = CD ,∠ CAD = 30

(Ⅰ)若 AD =2, AB =2 BC ,求四边形 ABCD 的体积。

(Ⅱ)若二面角 C - AB - D 为 60 ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值。

0

设 E 为边 AB 的中点,则 EF//BC,由 AB ⊥ BC ,知 EF ⊥ AB ,又由(Ⅰ)有 DF⊥平面 ABC ,
-6-

故 由 三 垂 线 定 理 知 DE ⊥

AB , 所 以 ?DEF 为 二 面 角 C - AB - D 的 平 面 角 , 由 题 设 知
a 2

?DEF ? 60? ,设 AD=a,则 DF=ADsinCAD=

在 Rt ?DEF 中, EF ? DF ? cot DEF ?

a 3 3 ? ? a, 2 3 6

从而 GH ?

1 3 BC ? EF ? a 2 6
1 1 BD ? a ,又 2 2

因 ?ADE ? ?BDE ,故 BD=AD=a.从而,在 Rt ?BDF 中, FH ?

FG ?

1 1 AD ? a ,从而在 ?FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理得 2 2

cos FGH ?

FG 2 ? GH 2 ? FH 2 GH 3 , ? ? 2 FG? GH 2 FG 6
3 . 6

故异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

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