【南方凤凰台】(江苏专用)高考数学大一轮复习 第二章 第5课 函数的定义域与值域自主学习


第 5 课 函数的定义域与值域
(本课对应学生用书第10-11页)

自主学习

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1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分,若没有标明定义域,则认为定义域是使得 函数解析式有意义的x的取值范围. (2) 分式中分母应不等于0;偶次根式中被开方数应为非负数,奇次根式中被开方数为一切 实数;零指数幂中底数不等于0,负分数指数幂中底数应大于0. (3) 对数式中,真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1,含有三角函数的角要使该三角函 数有意义等. (4) 实际问题中还需考虑自变量的实际意义,若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部 分相应集合的交集.

2. 求函数值域主要的几种方法 (1) 函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域,对于一些比较简单的函数可直接通 过观察法求得值域. (2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题,常用配方法求值域. (3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离变量法求值域;分子、分母 中含有二次项的有理函数,常用判别式法求值域(主要适用于定义域为R的函数). (4) 单调函数常根据函数的单调性求得值域. (5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域. (6) 有些函数具有明显的几何意义,可根据几何意义的方法求值域. (7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.

1. (必修1P24练习6改编)函数f(x)=x -2x的定义域为 [答案]R [-1,+∞)

2

,值域为

.

1 x 2. (必修1P93复习题1改编)函数f(x)= x-1 + ? 4 的定义域为

.

[答案][1,+∞)

? x-1 ? 0, ? x ? 4 ? 0, 解得x≥1. [解析]由题意得 ?

3. (必修1P93复习题5改编)已知一个函数的解析式为f(x)=2x+1,它的值域为{-1,2,5,8},则它 的定义域为 .

? 1 7? ?-1, ,2, ? [答案] ? 2 2 ?
[解析]由每个输出值求出相应的输入值.

4. (必修1P43习题3改编)函数y=
1 [答案] 4

x

-x(x≥0)的最大值为

.

[解析]y=

x

-x=-(

x

)+

2

x

1? 1 ? ? x- ? 2? +4 , =- ?

2

1 所以ymax= 4 .

1 5. (必修1P93复习题12改编)函数f(x)= 1-x +log3(3x-1)的定义域为
?1 ? ? ,1? [答案] ? 3 ?
?1-x ? 0, ?1 ? 1 ? ? ,1? 3x-1 ? 0, ? 3 [解析]由题意得 解得 <x<1,故定义域为 ? 3 ? .

.


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