广西桂林十八中2019届高三上学期第一次月考试题数学理


桂林十八中 10 级高三第一次月考试卷

数 学(理 科)
注意:①本试卷共 2 页。考试时间 120 分钟,满分 150 分。 ②请分别用 2B 铅笔填涂选择题的答案、黑色水性笔解答第Ⅱ卷。必须在答题卡上答题,否则 不得分。 ③文明考风,诚信考试,自觉遵守考场纪律,杜绝各种作弊行为。

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的. 2x ?1 ? 0}, 则A B =( ) 1.若集合 A ? {x || 2 x ? 1|? 3}, B ? {x | 3? x 1 A. {x | ?1 ? x ? 或2 ? x ? 3} B. {x | 2 ? x ? 3} 2 1 1 C. {x | ? ? x ? 2} D. {x | ?1 ? x ? ? } 2 2
2.设 i 是虚数单位,复数 z ? cos 45 ? i ? sin 45 ,则 z 等于( A. ?i B. i C.-1
2

) D.1

3.已知点 M 是直线 : 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x 轴的交点,过 M 点作直线 的垂线,则垂线方程为( ) A. x ? 2 y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 2 ? 0 C. x ? 2 y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 2 ? 0

4.若 a , b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ? A.充分而不必要条件 C.充分条件 5.函数 y ? sin(2 x2 ? x) 的导数为( A. y ' ? cos(2 x ? x)
2

1 ”的( b



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B. y ' ? 2sin(2 x2 ? x) D. y ' ? 4cos(2x2 ? x) )
y

C. y ' ? (4 x ? 1)cos(2 x2 ? x) 6. lim ?1 ?
n ??

? ?

1 1 ? ? 3 32

?

1 3n
3 2

? ? ?( ?

A.

5 3

B.

C.2

D.不存在

y=f'(x)

7. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图像如图所 示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个
a

b

o

x

·1·

8.从抛物线 y 2 ? 4 x 图像上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线焦点为 F, 则△MPF 的面积为( ) A.12 B.10 C.8 D.4 9.函数 f ? x ? ? A.

2 5

x 的最大值为( x ?1 1 B. 2

) C.

2 2

D.1

10.四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD=2, AB ? 3 ,在外接球面上 A,B 两点间的球面距离 是( ) A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

11.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有 1 个小球,且每个盒子中的小球 个数都不同,则不同的放法共有( ) A.15 种 B.18 种 C.19 种 D.21 种 12.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA ? OB ? OC 的最小值是( A.0 B.-1 C.-2 D.2

?

?



第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 13.已知 sin x ? 2cos x ? 0 ,则 sin x ? 1 ? ________________.
x2 ? a 14.若函数 f ? x ? ? 在 x ? 1 处取极值,则 a=________. x ?1

m? ? 2 15.二项式 ? x ? ? 的展开式中 x 的系数为 60,则实数 m 等于__________. x? ?
ì ? x 2 + ax + b ? ( x > 1) ? 2 ? x + x 2 ? 16.已知函数 f ( x) = í 在 x = 1 处连续,则 a + b = ____. ? 1 ? x+ ( x ? 1) ? ? 3 ? ?
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? ⑴求 A; ⑵求 sin B ? sin C 的取值范围.
·2·

6

2 , b2 ? c 2 ? 2 ? bc .

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是递增的等差数列,且满足 a3 ? a5 ? 16 , a2 ? a6 ? 10 . ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵令 bn ? ? an ? 7 ? ?

2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙能答 5

对其中的 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行测试,答对一题加 10 分, 答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. ⑴求乙得分的分布列和数学期望; ⑵求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

20.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ?

⑴求 f ? x ? 的单调区间;

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x ( a ? R ). 3

⑵若 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 内有且只有一个极值点, 求 a 的取值范围.

·3·

21. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, 平面 PAD⊥底面 ABCD, Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2, BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

⑴求证:平面 PQB⊥平面 PAD; ⑵设 PM ? t ? MC ,若二面角 M-BQ-C 的平面角的大小为 30°,试确定 t 的值. P

M D Q A B C

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? bx ? c)e? x ( a ? R 且 a ? 0 )的图像过点 (0, ?2) ,且在该点的切线方程 为 4x ? y ? 2 ? 0 . ⑴若 f ( x) 在 [2,??) 上为单调增函数,求实数 a 的取值范围; ⑵若函数 F ( x) ? f ( x) ? m 恰好有一个零点,求实数 m 的取值范围.

·4·

桂林十八中 10 级高三第一次月考试卷数学(理科答案)
一、选择题 题号 1 2 答案 D A 提示: 3 B 4 B 5 C 6 B 7 A 8 B 9 B 10 C 11 B 12 C

p ,得 x0 ? 4 ,故三角形以 PM 为底边,高为 4,面积为 10; 2 x 1 1 9. f ? x ? ? ? ? ; 1 x ?1 2 x? x
8.由 PF ? x0 ? 11.分配问题有三种情况,分别为 432,531,621; 12.当 O 为 AM 的中点时取最小值,注意 OB+OC 的几何含义; 二、填空题 13. 提示: 16.易知 lim
x ?1

9 5

14. 3

15. ?2

16. -1

x 2 ? ax ? b 4 ? ,由极限的知识知 x ? 1 是方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的根; 2 x ? x?2 3

三、解答题 17.解:⑴由 a ? b ? c ? 2bc cos A ,及 b ? c ? 2 ? bc 得 A ?
2 2 2 2 2

?
3



⑵ sin B ? sin C ? sin ?

?? 3 1 ? ?2 ? ? ? C ? ? sin C ? cos C ? sin C ? cos ? C ? ? , 6? 2 2 ? ?3 ? ? 2 ? ? 5? 3 3? 又0 ? C ? ? , ? C ? ? ,∴ sin B ? sin C ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 3 6 6 6 ? ?

18.解:⑴根据题意: a2 ? a6 ? 10 ? a3 ? a5 ,又 a3 ? a5 ? 16 , 所以 a3 , a5 是方程 x2 ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,且 a3 ? a5 , 解得 a5 ? 8, a3 ? 2 ,所以 d ? 3 , an ? 3n ? 7 . ⑵ bn ? ( a n ? 7) ?

2n ? n ? 2 n ,则 3 1 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n


n?1

2Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? 2
2 3

n?1

? (n ? 1) ? 2 ? n ? 2
n



①一②,得 ? Tn ? 21 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? 所以 Tn ? n ? 2
n?1

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 , 1? 2

? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 .

19.解:⑴设乙答题所得分数为 X,则 X 的可能取值为-15,0,15,30;
·5·

P( X ? ?15) ? P( X ? 15) ?

2 1 C3 C5 C5 5 1 5 ? P ( X ? 0) ? ? , , 3 3 C10 12 C10 12

2 C1 C3 5 1 5C5 5 ? P ( X ? 30) ? ? . , 3 3 C10 12 C10 12

乙得分的分布列如下: X -15 P

0

15

30

5 12 1 5 5 1 15 EX ? ? (?15) ? ? 0 ? ? 15 ? ? 30 ? . 12 12 12 12 2
则 P( A) ? C3 ( ) ( ) ? ( ) ?
2 2 3

1 12

5 12

1 12

⑵由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选,记甲入选为事件 A,乙入选为事件 B.

81 5 1 1 ? ? . , P( B) ? 125 12 12 2 44 1 103 ? ? 故甲乙两人至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? . 125 2 125
20.解:⑴ f ' ? x ? ? 2x2 ? 4ax ? 3 , ? ? ? ?4a ? ? 4 ? 2 ? 3 ;
2

3 5

2 5

3 5

①当 ? ? 0 时,即 | a |? 分别为 x1 ? a ?

6 2 时,方程 2 x ? 4ax ? 3 ? 0 有两个根, 2

? x1 , x2 ? 单调递减;

4a 2 ? 6 a2 ? 6 , x2 ? a ? ;故 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? 和 ? x2 , ??? 单调递增,在 2 2

②当 ? ? 0 时, f ? x ? 单调递增; ⑵由 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上只有一个极值点,知 ? ? 0 ,即 | a |? 且要满足 f ' ?1? ? f ' ? ?1? ? 0 ,解得 | a |?

6 ; 2

5 5 ,综合得 | a |? . 4 4

21.解:⑴∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ. 2

∵∠ADC=90°, ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD. 另证:AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, z 2

∴CD // BQ .

∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面 PBQ. ∵ AD ? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. P ⑵∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系.则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; Q
·6·

M D C N B y

A x

Q(0,0,0) , P(0,0, 3) , B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) . 设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) ,
∵ PM ? tMC ,

? x ? t (?1 ? x) ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ? ? z ? 3 ? t (? z)

t ? ?x ? ? 1? t ? 3t ? ∴ ?y ? 1? t ? ? 3 ?z ? ? 1? t
t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t
t 3? 0?t
2

在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30°, cos 30 ?
?

n?m n m

?

?

3 ,∴ t ? 3 . 2

22.
'


?x


2


?x 2



f (0) ? ?2 ? c ? ?2
?x



f ( x) ? (2ax ? b)e ? (ax ? bx ? c)e ? (?ax ? 2ax ? bx ? b ? c)e

2 ?x f ' (0) ? (b ? c)e0 ? 4 所以 b ? 2 ,? f ( x) ? ? ax ? 2 x ? 2 ? e ;

f ' ( x) ? (?ax2 ? 2ax ? 2x ? 4)e? x ? ?(ax ? 2)( x ? 2)e? x ? 0 在 [2, ??) 上恒成立; 2 ? a ? ?1 . 即 ?(ax ? 2) ? 0 ,? a ? ? x ⑵ f ( x) ? m ? 0 , y ? m 和 y ? f ( x) 恰好有一个交点; f ' ( x) ? (?ax2 ? 2ax ? 2x ? 4)e? x ? ?(ax ? 2)( x ? 2)e? x 2 ? 2 ? ①当 a ? 0 时 f ( x ) 在区间 ( ??, ? ), (2, ?? ) 单调递减,在 ? ? , 2 ? 上单 a ? a ?
调递增,
2 2 a 极大值为 f (2) ? (4a ? 2)e ,极小值为 f (? ) ? ?2e , a (当 x 趋向于 ?? 时图像在 x 轴上方,并且无限接近于 x 轴) ,

?2

所以 m ? ? ?2? e a 或 m ? (4a ? 2)e?2 ②当 a ? 0 时:(ⅰ)当 ?

2

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a 2? 2 ? f ( x) 在区间 ( ??, 2), ( ? , ??) 单调递增,在 ? 2, ? ? 上单调递减, a? a ?
?2

2 2 a 极大值为 f (2) ? (4a ? 2)e ,极小值为 f (? ) ? ? ?2 ? e , (当 x 趋向于 a

·7·

?? 时图像在 x 轴下方,并且无限接近于 x 轴) 2 1 当 (4a ? 2)e?2 ? 0 即 ? ? a ? 0 时 , m ? (4a ? 2)e?2 或 m ? ?2e a 2 2 1 当 (4a ? 2)e?2 ? 0 时,即 ?1 ? a ? ? 时, (4a ? 2)e?2 ? m ? 0 或 m ? ?2e a 2 2 2 ? 2 ? (ⅱ)当 ? ? 2 时,即 a ? ?1 时 f ( x ) 在区间 ( ??, ? ), (2, ??) 单调递增,在 ? ? , 2 ? 上单调递减, a a ? a ? 2 2 极小值为 f (2) ? (4a ? 2)e?2 ,极大值为 f (? ) ? ? ?2 ? e a , (当 x 趋向于 ?? 时图像在 x 轴下方,并 a 且无限接近于 x 轴)
?
?2 m ? ?2e a 或 m ? (4a ? 2)e ;
2

2 ? 2 时,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 R 上单调增(当 x 趋向于 ?? 时图像在 x 轴下方,并且 a 无限接近于 x 轴)此时 m ? 0 .
(ⅲ) ?

·8·

·9·


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