黑龙江省哈尔滨三中2014-2015学年高二上学期期末试卷试卷(理科) Word版含解析


黑龙江省哈尔滨三中 2014-2015 学年高二上学期期末试卷试卷 (理 科)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 M={1,2,3}的真子集个数为() A.6 B. 7 C. 8 D.9
2

2. (5 分)过点(2,﹣2)且与双曲线

﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是()

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

3. (5 分)从装有 4 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率为() A. B. C. D.

4. (5 分) (x ﹣ ) 的展开式中常数项是() A.9 B . ﹣9 C.27 D.﹣27

2

3

5. (5 分)已知两点 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 A. +y =1
2

?

=12,则点 P 的轨迹方程为() D.x +y =8
2 2

B.x +y =16

2

2

C.y ﹣x =8

2

2

6. (5 分)已知椭圆 A.3 B. 3 或

的离心率

,则实数 k 的值为() C. D. 或

7. (5 分)已知直线 mx+ny+1=0 与圆 x +y =1 相切,则 2m+n 的最大值为() A.2 B. C. D.3

2

2

8. (5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现做一矩形,邻边长分别等于线段 AC, 2 CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为() A. B. C. D.

9. (5 分)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否 加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为() A. B.
2

C.

D.

10. (5 分)抛物线 y=﹣x 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是() A. B. C. D.3

11. (5 分)已知随机变量 X 和 Y,其中 Y=12X+7,且 EY=34,若 X 的分布列如表所示,则 m 的值为() X 1 2 3 4 P m n

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1F2,且两条曲 线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是() A.(0, ) B. C. D.

二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知两点 A(﹣2,﹣2) 、B(3,7) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为. 14. (5 分)已知小明投 10 次篮,每次投篮的命中率均为 0.7,记 10 次投篮命中的次数为 X, 则 DX=. 15. (5 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有 且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示) . 16. (5 分)现要将编号为 1,2,3,4 的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中,每个至少放 一个球,且甲盒不能放入 1 号球,乙盒不能放入 2 号球,则所有不同的放法种数为(用数字 作答) .

三、解答题:共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2x+ ) 展开式中所有的项的系数为 243.
n

(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中 x 项的系数. 18. (12 分)将一枚骰子先后抛掷两次,记第一次的点数为 x,第二次的点数为 y. (Ⅰ)求点 P(x,y)在直线 y=x+1 上的概率; 2 (Ⅱ)求 y <4x 的概率. 19. (12 分)某袋中有 10 个乒乓球,其中有 7 个新、3 个旧球,从袋中任取 3 个来用,用后 放回袋中(新球用后变为旧球) ,记此时袋中旧球个数为 X,求 X 的数学期望. 20. (12 分) 过抛物线 y =x 的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OA, OB, 求△ AOB 面积的最小值. 21. (12 分)小强参加一次测试,共有三道必答题,他是否答对每题互不影响.已知他只答对 第一题的概率为 0.08,只答对第一题和第二题的概率为 0.1,至少答对一题的概率为 0.88,用 X 表示小强答对题的数目. (Ⅰ)求小强答对第一题的概率; (Ⅱ)求 X 的分布列和数学期望.
2 2

22. (12 分)设椭圆 C:

过点(1, ) ,F1,F2 分别为椭圆 C 的左右

焦点,且离心率 (1)求椭圆 C 的方程. (2)已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若 AM、AN 的斜率 k1,k2 满足 ,求直线 l 的方程.

黑龙江省哈尔滨三中 2014-2015 学年高二上学期期末试卷 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)集合 M={1,2,3}的真子集个数为() A.6 B. 7 C. 8 D.9 考点: 专题: 分析: 解答: 子集与真子集. 集合. 根据题意,集合 M 中有 3 个元素,由集合的子集与元素数目的关系,计算可得答案. 3 3 解:集合 M 中有 3 个元素,有 2 =8 个子集,有 2 ﹣1=7 个真子集;

故选 B. 点评: 本题考查集合的元素数目与子集数目的关系,若集合中有 n 个元素,则其有 2 个子 集.
2 n

2. (5 分)过点(2,﹣2)且与双曲线

﹣y =1 有公共渐近线的双曲线方程是()

A.



=1

B.



=1

C.



=1

D.



=1

考点: 双曲线的标准方程. 分析: 设所求双曲线方程为 所求的双曲线方程. 解答: 解:设所求双曲线方程为 把(2,﹣2)代入方程 ﹣y =λ,
2

﹣y =λ,把(2,﹣2)代入方程

2

﹣y =λ,求出 λ,可得到

2

﹣y =λ,

2

解得 λ=﹣2.由此可求得所求双曲线的方程为



故选 A. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用. 3. (5 分)从装有 4 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球 的概率为() A. B. C. D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 用间接法,首先分析从 6 个球中任取 3 个球的情况数目,再求出所取的 3 个球中没 有白球即全部红球的情况数目,计算可得没有白球的概率,而“没有白球”与“3 个球中至少有 1 个白球”为对立事件,由对立事件的概率公式,计算可得答案. 3 解答: 解:根据题意,首先分析从 6 个球中任取 3 个球,共 C6 =20 种取法, 3 所取的 3 个球中没有白球即全部红球的情况有 C4 =4 种, 则没有白球的概率为 = ;

则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是 1﹣ = ; 故选:B. 点评: 本题考查古典概型的计算,注意至多、至少一类的问题,可以选用间接法,即借助 对立事件的概率的性质,先求其对立事件的概率,进而求出其本身的概率.

4. (5 分) (x ﹣ ) 的展开式中常数项是() A.9 B . ﹣9 C.27 D.﹣27

2

3

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: 利用展开式的通项公式求出展开式的通项, 令 x 的指数为 0, 求出 r 的值, 求出答案. 解答: 解:展开式的通项为 Tr+1= 3r=0?r=2, ∴(x ﹣ ) 的展开式中常数项是 T3=
2 3

×x

2(3﹣r)

×(﹣1) ×3 ×x =

r

r

﹣r

×(﹣3) ×x

r

6﹣3r

,令 6﹣

×9=27.

故选:C. 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

5. (5 分)已知两点 M(﹣2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 A. +y =1
2

?

=12,则点 P 的轨迹方程为() D.x +y =8
2 2

B.x +y =16

2

2

C.y ﹣x =8

2

2

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题. 分析: 设 P 点坐标为(x,y) ,由 解答: 解:设 P(x,y) , 则 ∴ =(﹣2﹣x,﹣y) , ? =(2﹣x,﹣y)
2

?

=12 进而可得到 x 和 y 的关系式.

=(2﹣x) (﹣2﹣x)+y =12
2 2

整理可得 x +y =16. 故选 B 点评: 本题主要考查了轨迹方程.解题的关键是设出所求点的坐标为(x,y)进而找到 x 和 y 的关系式.

6. (5 分)已知椭圆 A.3 B. 3 或

的离心率

,则实数 k 的值为() C. D. 或

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

分析: 当 K>5 时, 由 e= = 求得 K 值. 解答: 解:当 K>5 时,e= =

=

求得 K 值, 当 0<K<5 时, 由 e= =

=



=

,K=



当 0<K<5 时,e= =

=

,K=3. 综上,K=3,或



故选 B. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,分 类讨论是解题的关键. 7. (5 分)已知直线 mx+ny+1=0 与圆 x +y =1 相切,则 2m+n 的最大值为() A.2 B. C. D.3
2 2

考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用直线 mx+ny+1=0 与圆 x +y =1 相切, 可得
2 2

=1, 即 m +n =1, 设 m=cosα,

2

2

n=sinα,则 2m+n=2cosα+sinα= sin(α+θ)≤ ,即可求出 2m+n 的最大值. 2 2 解答: 解:∵直线 mx+ny+1=0 与圆 x +y =1 相切, ∴
2 2

=1,

∴m +n =1, 设 m=cosα,n=sinα,则 2m+n=2cosα+sinα= sin(α+θ)≤ , ∴2m+n 的最大值为 , 故选:C. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查三角函数知识,正确运用直线 mx+ny+1=0 与圆 2 2 x +y =1 相切是关键. 8. (5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现做一矩形,邻边长分别等于线段 AC, 2 CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 设 AC=x,则 0<x<12,若矩形面积为小于 32,则 x>8 或 x<4,从而利用几何概型 概率计算公式,所求概率为长度之比

解答: 解:设 AC=x,则 BC=12﹣x,0<x<12 若矩形面积 S=x(12﹣x)<32,则 x>8 或 x<4 即将线段 AB 三等分,当 C 位于首段和尾段时,矩形面积小于 32, 故该矩形面积小于 32cm 的概率为 P=
2

=

故选 C 点评: 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法,将此概率转化为长度之比是解 决本题的关键,属基础题

9. (5 分)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否 加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为() A. B. C. D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得,这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等 品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件, 而两个零件是否加工为一等品相互独立, 进 而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案. 解答: 解:记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A, 即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况, 则 P(A)=P(A1)+P(A2)= ,

故选 B. 点评: 本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式,解题前,注 意区分事件之间的相互关系(对立,互斥,相互独立) . 10. (5 分)抛物线 y=﹣x 上的点到直线 4x+3y﹣8=0 距离的最小值是() A. B. C. D.3
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 首先判断出直线和抛物线无交点,然后设出与直线平行的直线方程,可抛物线方程 联立后由判别式等于 0 求出切线方程,然后由两条平行线间的距离求出抛物线 y=﹣x 上的一 点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值. 解答: 解:由
2 2

,得 3x ﹣4x+8=0.

2

△ =(﹣4) ﹣4×3×8=﹣80<0. 2 所以直线 4x+3y﹣8=0 与抛物线 y=﹣x 无交点. 设与直线 4x+3y﹣8=0 平行的直线为 4x+3y+m=0

联立
2

,得 3x ﹣4x﹣m=0.

2

由△ =(﹣4) ﹣4×3(﹣m)=16+12m=0, 得 m=﹣ . 所以与直线 4x+3y﹣8=0 平行且与抛物线 y=﹣x 相切的直线方程为 4x+3y﹣ =0.
2

所以抛物线 y=﹣x 上的一点到直线 4x+3y﹣8=0 的距离的最小值是

2

= .

故选:A. 点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了两条平行线 间的距离公式,是中档题. 11. (5 分)已知随机变量 X 和 Y,其中 Y=12X+7,且 EY=34,若 X 的分布列如表所示,则 m 的值为() X 1 2 3 4 P m n

A.

B.

C.

D.

考点: 离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题. 分析: 根据随机变量 X 分布的概率和为 1,建立 m、n 的等式,根据数学期望公式再建立另 一等式,联立方程组解之即可求出所求. 解答: 解:根据随机变量 X 分布的概率和为 1,则 +m+n+ 即 m+n= ① =2m+3n+ =1

EX=1× +2m+3n+4×

∵Y=12X+7,且 EY=34 ∴EY=12EX+7=24m+36n+14=34 联立①②得 m=



故选 C. 点评: 本题主要考查了离散型随机变量及其分布列,以及随机变量的数学期望和二元一次 方程组的解法,属于中档题.

12. (5 分)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左右焦点分别为 F1F2,且两条曲 线在第一象限的交点为 P,△ PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形.若|PF1|=10,椭圆与双曲线 的离心率分别为 e1,e2,则 e1?e2 的取值范围是() A.(0, ) B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设椭圆与双曲线的半焦距为 c,PF1=r1,PF2=r2.利用三角形中边之间的关系得出 c 的取值范围, 再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率, 最后依据 c 的范围即可求出 e1?e2 的取值范围,即可得答案. 解答: 解:设椭圆与双曲线的半焦距为 c,PF1=r1,PF2=r2. 由题意知 r1=10,r2=2c,且 r1>r2,2r2>r1, ∴2c<10,2c+2c>10, ? <c<5.? ,



=



=







故选 C.

点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、椭圆的简单性质、双曲线的简单性质、不等式 的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 二、填空题:每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)已知两点 A(﹣2,﹣2) 、B(3,7) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为 5x+9y﹣ 25=0. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 求出 A,B 的中点和斜率,根据点斜式方程即可求出直线方程. 解:∵两点 A(﹣2,﹣2) 、B(3,7) ,

∴两点 A,B 的中点为( , ) ,AB 的斜率 k= 则线段 AB 的垂直平分线的斜率 k=﹣ , 则对于的直线方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ ) ,

= ,

即 5x+9y﹣25=0, 故答案为:5x+9y﹣25=0. 点评: 本题主要考查直线方程的求解,根据条件求出中点坐标和斜率是解决本题的关键. 14. (5 分)已知小明投 10 次篮,每次投篮的命中率均为 0.7,记 10 次投篮命中的次数为 X, 则 DX=2.1. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知 ξ~B(10,0.7) ,由此能求出 Dξ. 解答: 解:由题意知 ξ~B(10,0.7) , Dξ=10×0.7×0.3=2.1. 故答案为:2.1. 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学方差的求法,是基础题,解题时要认真审 题,注意二项分布的合理运用. 15. (5 分)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有 且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种 数,最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可. 解答: 解:每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球 三个同学共有 3×3×3=27 种 有且仅有两人选择的项目完全相同有 其中 × × =18 种 表示从三种组合中选一个, 表示剩下

表示 3 个同学中选 2 个同学选择的项目,

的一个同学有 2 中选择 故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 故答案为: 点评: 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的 项目完全相同的个数,属于基础题. =

16. (5 分)现要将编号为 1,2,3,4 的四个小球全部放入甲、乙、丙三个盒中,每个至少放 一个球,且甲盒不能放入 1 号球,乙盒不能放入 2 号球,则所有不同的放法种数为 17(用数 字作答) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 由题意知元素的限制条件比较多,可以利用间接法,先不考虑甲乙两盒的,再排除 甲盒有 1 号,乙盒有 2 号球球,还要加上盒有 1 号球同时乙盒有 2 号球,问题得以解决. 解答: 解:不考虑甲盒不能放 1 号球,乙盒不能放入 2 号球,一共有 甲盒为 1 号球有 =12 种,乙盒有 2 号球也有 12 种, =36 种,

甲盒有 1 号球同时乙盒有 2 号球 1+2×2=5,所以不同的放法为 36﹣12﹣12+5=17 种, 故答案为:17 点评: 本题考查排列组合及简单的计数原理,综合利用两个原理解决是关键,属中档题. 三、解答题:共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2x+ (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求展开式中 x 项的系数. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析: (I)依题意,得 3 =243,可得 n=5; (Ⅱ)由(2x+ ) 的二项展开式的通项公式 Tr+1=
2 5 n 2

) 展开式中所有的项的系数为 243.

n

?(2x)

5﹣r

?

=2

5 ﹣r

?

?



知 5﹣ r=2,可求得 r=2,从而可得展开式中 x 项的系数. 解答: 解: (I)∵(2x+ ∴当 x=1 时,有 3 =243, ∴n=5; (Ⅱ)设(2x+ ) 展开式中的通项 Tr+1=
5 n

) 展开式中所有的项的系数为 243,

n

?(2x)

5﹣r

?

=2

5﹣r

?

?



令 5﹣ r=2,得 r=2, ∴展开式中 x 项的系数为:2 ?
2 3

=80.

点评: 本题考查二项式定理的应用,着重考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式 的应用,属于中档题.

18. (12 分)将一枚骰子先后抛掷两次,记第一次的点数为 x,第二次的点数为 y. (Ⅰ)求点 P(x,y)在直线 y=x+1 上的概率; (Ⅱ)求 y <4x 的概率. 考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型, (Ⅰ)试验发生包含的事件是先后掷两次骰子,共有 6×6 种结 果,满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在直线 y=x+1 上,列举共有 5 种结果,得到概 率; 2 (Ⅱ)满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在 y <4x 上,列举共有 17 种结果,得到概率. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知本题是一个古典概型, ∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子,共有 6×6=36 种结果, 满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在直线 y=x+1 上, 当 x=1,y=2;x=2,y=3;x=3,y=4;x=4,y=5;x=5,y=6,共有 5 种结果, ∴根据古典概型的概率公式得到 P= ;
2 2

(II)满足条件的事件是(x,y)为坐标的点落在 y <4x 上, 当 x=1,y=1;x=2,y=1,2;x=3,y=1,2,3;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4;x=6, y=1,2,3,4,共有 17 种结果, ∴根据古典概型的概率公式得到 P= .

点评: 本题考查古典概型的概率公式,考查满足直线方程的点,考查利用列举法得到事件 数,本题是一个基础题,适合文科学生做,列举时注意要以 x 为主来讨论. 19. (12 分)某袋中有 10 个乒乓球,其中有 7 个新、3 个旧球,从袋中任取 3 个来用,用后 放回袋中(新球用后变为旧球) ,记此时袋中旧球个数为 X,求 X 的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知,X 的可能取值为 3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的数 学期望. 解答: 解:由题意知,X 的可能取值为 3,4,5,6, P(X=3)= = ,

P(X=4)=

=



P(X=5)=

=



P(X=6)=

=



∴EX=

=5.1.

故答案为:5.1. 点评: 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历 年 2015 届高考中都是必考题型之一. 20. (12 分) 过抛物线 y =x 的顶点 O 作两条相互垂直的弦 OA, OB, 求△ AOB 面积的最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 A (x1, y1) , B (x2, y2) 与 x 轴的交点 M 点的坐标为 (x0, 0) , 直线 l 方程为 x=my+x0, 2 代入 y =x,根据 OA⊥OB.求出 m 的值,然后表示出△ AOB 的面积,求解三角形面积的最小 值即可. 解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)与 x 轴的交点 M 点的坐标为(x0,0) ,直线 l 方程 2 为 x=my+x0,代入 y =x 得 2 y ﹣my﹣x0=0 ①, y1、y2 是此方程的两根, ∴x0=﹣y1y2, 2 2 ∵x1x2+y1y2=y1 y2 +y1y2=y1y2(y1y2+1)=0, ∴y1y2=﹣1 ∴x0=1. 由方程①,y1+y2=m,y1y2=﹣1,且|OM|=x0=1, 于是 S△ AOB= |OM||y1﹣y2|= = ≥1,
2

∴当 m=0 时,△ AOB 的面积取最小值 1. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查三角形面积的最小值的求法,解题时要认真审题, 仔细解答,注意抛物线性质的合理运用. 21. (12 分)小强参加一次测试,共有三道必答题,他是否答对每题互不影响.已知他只答对 第一题的概率为 0.08,只答对第一题和第二题的概率为 0.1,至少答对一题的概率为 0.88,用 X 表示小强答对题的数目. (Ⅰ)求小强答对第一题的概率; (Ⅱ)求 X 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (I) 设事件 A 表示“答对第一题”,事件 B 表示“答对第二题”,事件 C 表示“答对第

三题”,由已知得

,由此能求出小强答

对第一题的概率. (Ⅱ)由已知得,X=0,1,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和数学期望.

解答: 解: (I) 设事件 A 表示“答对第一题”,事件 B 表示“答对第二题”,事件 C 表示“答对 第三题”,

由已知得



解得 P(A)= ,P(B)=

,P(C)= ,

∴小强答对第一题的概率为 . (Ⅱ)由已知得,X=0,1,3, P(X=0)=[1﹣P(A)][1﹣P(B)][1﹣P(C)]=1﹣0.88= ,

P(X=1)=P(A)[1﹣P(B)][1﹣P(C)]+P(B)[1﹣P(A)][1﹣P(C)]+P(C)[1﹣P (A)][1﹣P(B)]= ,

P(X=2)=P(A)P(B)[1﹣P(C)]+P(A)[1﹣P(B)]P(C)+[1﹣P(A)]P(B)P(C) = , ,

P(X=3)=P(A)P(B)P(C)= X P EX= 0 1 2 3

= .

点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.

22. (12 分)设椭圆 C:

过点(1, ) ,F1,F2 分别为椭圆 C 的左右

焦点,且离心率 (1)求椭圆 C 的方程. (2)已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若 AM、AN 的斜率 k1,k2 满足 ,求直线 l 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)由椭圆 C 过点(1, ) ,且离心率

,可得

,解出即可;

(2)由(1)可得:左顶点 A(﹣2,0) ,右焦点(1,0) .由题意可知直线 l 不存在时不满足 条件,可设直线 l 的方程为 y=k(x﹣1) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) .与椭圆的方程联立可得 根与系数的关系,再利用斜率计算公式可得 整理即可得出. 解答: 解: (1)∵椭圆 C: 过点(1, ) ,且离心率 , ,即 ,代入化简



,解得

,∴椭圆 C 的方程为



(2)由(1)可得:左顶点 A(﹣2,0) ,右焦点(1,0) . 由题意可知直线 l 不存在时不满足条件, 可设直线 l 的方程为 y=k (x﹣1) , M (x1, y1) , N (x2, y2) . 联立 ,化为(3+4k )x ﹣8k x+4k ﹣12=0.由题意可得△ >0.
2 2 2 2









,∴



化为 2k(x1﹣1) (x2+2)+2k(x2﹣1) (x1+2)+(x1+2) (x2+2)=0, 整理为(4k+1)x1x2+(2k+2) (x1+x2)+4﹣8k=0. 代入得
2

+4﹣8k=0,

整理为 k ﹣2k=0,解得 k=0 或 2. k=0 不满足题意,应舍去. 故 k=2,此时直线 l 的方程为 y=2(x﹣1) ,即 2x﹣y﹣2=0. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根 与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法,属于难题.


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