高中数学第1章统计4数据的数字特征教学案北师大版必修


4 数据的数字特征

[核心必知] 1.众数、中位数、平均数 (1)众数的定义: 一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数,一组数据的众数可以是一个,也 可以是多个. (2)中位数的定义及求法: 把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数) 称为这组数据的中位数. (3)平均数: ①平均数的定义: 如果有 n 个数 x1、x2、…、xn,那么 x = ②平均数的分类: 总体平均数:总体中所有个体的平均数叫总体平均数. 样本平均数:样本中所有个体的平均数叫样本平均数. 2.标准差、方差 (1)标准差的求法: 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示.

x1+x2+…+xn ,叫作这 n 个数的平均数. n

s=

1

n

x1- x

2

+ x2- x

2

+…+ xn- x

2

].

(2)方差的求法: 标准差的平方 s 叫作方差.
2

s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. n
其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本均值. (3)方差的简化计算公式:
2 2 2 s2= [(x2 1+x2+…+xn)-n x ] n

1

1

1 2 2 2 2 = (x1+x2+…+xn)- x .

n

3.极差 一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差. 4.数字特征的意义 平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势,极差、方差刻画了一组数据的离散 程度. [问题思考] 1.一组数据的众数一定存在吗?若存在,众数是唯一的吗? 提示:不一定.若一组数据中,每个数据出现的次数一样多,则认为这组数据没有众数; 不是,可以是一个,也可以是多个. 2.如何确定一组数据的中位数? 提示:(1)当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数. (2)当数据个数为偶数时,中位数为排列在最中间的两个数的平均值.

讲一讲 1.据报道,某公司的 33 名职工的月工资(单位:元)如下: 职务 人数 工资 董事长 1 5 500 副董事长 1 5 000 董事 2 3 500 总经理 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元,董事长的工资从 5 500 元提升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平,结合此问题谈一谈你的看法. [尝试解答] (1)平均数是 x =1 500+ 4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+591=2 091(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.

(2)新的平均数是 x ′=1500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 33 ≈1 500+1 788=3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的 工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能 反映这个公司员工的工资水平.

1.众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. 2.众数考查各个数据出现的频率,大小只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中 有不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. 3.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响,中位数可能在 所给的数据中,也可能不在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位 数描述它的某种集中趋势. 练一练 1.某公司销售部有销售人员 15 人,销售部为了制定某种商品的月销售定额,统计了这 15 人某月的销售量如下: 销售量(件) 人数 1 800 1 510 1 250 3 210 5 150 3 120 2

(1)求这 15 位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数; (2)假设销售部负责人把月销售额定为 320 件,你认为是否合理,为什么?如不合理,请 你制定一个较为合理的销售定额. 1 解:(1)平均数为 (1 800×1+510×1+250×3+210×5+150×3+120×2)=320(件), 15 中位数为 210 件,众数为 210 件. (2)不合理,因为 15 人中有 13 人的销售量未达到 320 件,也就是说,虽然 320 是这一组 数据的平均数,但它却不能反映全体销售人员的销售水平.销售额定为 210 件更合理些,这 是由于 210 既是中位数,又是众数,是大部分人都能达到的定额.

讲一讲 2.甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为了检验质量,各从中抽取 6 件进行测 量,分别记录数据为:

甲:99 100 98

100 100 103

乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 1 [尝试解答] (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6

x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100,
2 2 2 2 2 s2 甲= [(99-100) +(100-100) +(98-100) +(100-100) +(100-100) +(103-

1 6

1 6

7 2 100) ]= , 3
2 2 2 2 2 s2 乙= [(99-100) +(100-100) +(102-100) +(99-100) +(100-100) +(100-

1 6

100) ]=1. (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又 s甲>s乙,所以乙机床加工零件的质量更 稳定.
2 2

2

在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平 均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳 定性就越差;方差越小,数据越集中,质量越稳定. 练一练 2.对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(单 位:m/s)的数据如下: 甲:27 38 30 37 35 31 乙:33 29 38 34 28 36 根据以上数据,试估计两人最大速度的平均数和标准差,并判断他们谁更优秀. 1 198 解: x 甲= ×(27+38+30+37+35+31)= =33, 6 6
2 2 2 2 2 2 s2 , 甲= ×[(27-33) +(38-33) +(30-33) +(37-33) +(35-33) +(31-33) ]=

1 6

94 6

s 甲=
1 6

94 ≈3.96, 6 198 =33, 6 76 6

x 乙= ×(33+29+38+34+28+36)=
1 6

2 2 2 2 2 2 s2 , 乙= ×[(33-33) +(29-33) +(38-33) +(34-33) +(28-33) +(36-33) ]=

s 乙=

76 ≈3.56. 6

由上知,甲、乙两人最大速度的平均数均为 33 m/s,甲的标准差为 3.96 m/s,乙的标准 差为 3.56 m/s,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙的成绩比甲的成绩更稳定, 故乙比甲更优秀.

讲一讲 3.在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表: 分数 人 甲组 数 乙组 50 2 4 60 5 4 70 10 16 80 13 2 90 14 12 100 6 12

已经算得两个组的平均分都是 80 分.请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组 在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由. [尝试解答] (1)甲组成绩的众数为 90 分,乙组成绩的众数为 70 分,从成绩的众数比较 看,甲组成绩好些. (2) x 甲= = 1 (50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6) 2+5+10+13+14+6

1 ×4 000=80(分), 50 1 1 (50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)= 4+4+16+2+12+12 50

x 乙=

×4 000=80(分).

s2 甲=
2

1 2 2 2 [2×(50- 80) +5×(60- 80) +10×(70- 80) +13×(80- 2+5+10+13+14+6
2 2

80) +14×(90-80) +6×(100-80) ]=172,

s2 乙=
2

1 2 2 2 [4×(50- 80) + 4×(60- 80) + 16×(70 - 80) + 2×(80- 4+4+16+2+12+12
2 2

80) +12×(90-80) +12×(100-80) ]=256. ∵s甲<s乙,∴甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组好些. (3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分.其中,甲组成绩在 80 分以上(包括 80 分)的有 33 人,乙组成绩在 80 分以上(包括 80 分)的有 26 人.从这一角度看,甲组的成绩较 好. (4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于 90 分的有 20 人,乙组成绩大于等于 90 分的有 24 人,∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多
2 2

6 人.从这一角度看,乙组的成绩较好.

要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析, 而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际 的角度去分析,如本讲的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结 论. 练一练 3.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情况如图所示:

(1)请填写下表: 平均数 甲 乙 7 中位数 命中 9 环以上的次数(含 9 环)

(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些? ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看,谁的成绩好些? ③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力? 解 : (1) 由 图 可 知 , 甲 打 靶 的 成 绩 为 : 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10 ; 乙 打 靶 的 成 绩 为 : 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 甲的平均数是 7,中位数是 7.5,命中 9 环及 9 环以上的次数是 3; 乙的平均数是 7,中位数是 7,命中 9 环及 9 环以上的次数是 1. (2)由(1)知,甲、乙的平均数相同. ①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好. ②甲、乙的平均数相同,甲命中 9 环及 9 环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好. ③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力. 【解题高手】 【多解题】 一个球队所有队员的身高如下(单位:cm):178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184,问这个球队的队员平均身高是多少?(精确到 1 cm) [解] 法一:利用平均数的公式计算.



x = ×(178+179+181+…+180+184)= ×2 523≈180.

1 14

1 14

法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算. 取 a=180,将上面各数据同时减去 180,得到一组数据: -2,-1,1,2,-4,3,-4,0,3,-5,1,5,0,4. -

x ′= ×(-2-1+1+2-4+3-4+0+3-5+1+5+0+4)= ×3= ≈0.2,

1 14

1 14

3 14

- - ∴ x = x ′+a=0.2+180≈180. 法三:利用加权平均数公式计算. -

x=

1 ×(185×1 + 184×1 + 183×2 + 182×1 + 181×2 + 180×2 + 179×1 + 178×1 + 14

1 176×2+175×1)= ×2 523≈180. 14 法四:建立新数据(方法同法二) ,再利用加权平均数公式计算. -

x ′=

1 ×[5×1+4×1+3×2+2×1+1×2+0×2+ (-1)×1+ ( -2)×1+ ( -4)×2 14

+(-5)×1] = 1 ×3≈0.2. 14

- - ∴ x = x ′+a=0.2+180≈180.

1.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数,中位数和众数大小关系是 ( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 解析:选 D 可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为 50. 2.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1,则样本方差为 ( )

A.

6 5

6 B. 5

C. 2

D.2

1 解析:选 D ∵样本的平均数为 1,即 ×(a+0+1+2+3)=1,∴a=-1,∴样本方差 5

s2= ×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
3.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平 均数分别是( ) 8 9 9 7 3 1 6 4 0 2

1 5

A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92

C.91 和 91.5

D.92 和 92

解析:选 A 将这组数据从小到大排列,得 87,89,90,91,92,93,94,96. 故平均数 x = 87+89+90+91+92+93+94+96 91+92 =91.5,中位数为 =91.5. 8 2

4.(湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动 员在这五场比赛中得分的方差为________.

1 2 2 2 2 (注:方差 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ],其中 x 为 x1,x2,…,xn 的平

n

均数) 8+9+10+13+15 解析:该运动员五场比赛中的得分为 8,9,10,13,15,平均得分 x = = 5 11, 1 2 2 2 2 2 2 方差 s = [(8-11) +(9-11) +(10-11) +(13-11) +(15-11) ]=6.8. 5 答案:6.8 5.甲、乙两人在相同条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命中环数如下: 甲 乙 6 10 8 7 9 7 9 7 8 9

则两人射击成绩的稳定程度是________. - - 解析:∵ x 甲=8, x 乙=8,
2 s2 甲=1.2,s乙=1.6,

∴s甲<s乙.

2

2

∴甲稳定性强. 答案:甲比乙稳定 6.某农科所为寻找高产稳定的油菜品种,选了三个不同的油菜品种进行试验,每一品种 在五块试验田试种.每块试验田的面积为 0.7 公顷,产量情况如下表: 品种 1 2 3 各试验田产量(kg) 1 21.5 21.3 17.8 2 20.4 23.6 23.3 3 22.0 18.9 21.4 4 21.2 21.4 19.1 5 19.9 19.8 20.8

试评定哪一品种既高产又稳定. 解: x 1=21.0 kg, x 2=21.0 kg, x 3=20.48 kg;
2 2 s2 1=0.572,s2=2.572,s3=3.5976,

∴ x 1= x 2> x 3,s1<s2<s3. ∴第一个品种既高产又稳定.

2

2

2

一、选择题 1.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数为:90 89 90 95 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 ) 94 93

90+90+93+94+93 解析: 选 B 去掉最高分 95 和最低分 89 后, 剩余数据的平均数为 x = 5 =92, 1 1 2 2 2 2 2 2 方差为 s = ×[(92-90) +(92-90) +(93-92) +(94-92) +(93-92) ]= ×(4+4 5 5 +1+4+1)=2.8. 2.已知一组数据为-3,5,7,x,11,且这组数据的众数为 5,那么数据的中位数是( A.7 B.5 C.6 D.11 )

解析:选 B 这组数据的众数为 5,则 5 出现的次数最多, ∴x=5,那么这组数据按从小到大排列为-3,5,5,7,11,则中位数为 5. 3. 如图所示, 样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体, 它们的样本平均数分别为 x A 和 x B, 样本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

A. x A> x B,sA>sB

B. x A< x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB

D. x A< x B,sA<sB

解析:选 B A 中的数据都不大于 B 中的数据,所以 x A< x B,但 A 中的数据比 B 中的数 据波动幅度大,所以 sA>sB. 4.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均数为 x ,则( )

A.me=m0= x

B.me=m0< x

C.me<m0< x

D.m0<me< x

5+6 1 解析:选 D 易知中位数的值 me= =5.5,众数 m0=5,平均数 x = ×(3×2+4×3 2 30 +5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2)≈6,所以 m0<me< x . 5.一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上 60,得 到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是( A.57.2 3.6 B.57.2 56.4 C.62.8 63.6 ) D.62.8 3.6

1 解析:选 D 设该组数据为 x1,x2,…,xn,则 (x1+x2+…+xn)=2.8,

n

1

n

[(x1-2.8) +(x2-2.8) +…+(xn-2.8) ]=3.6,

2

2

2

1 1 所以,所得新数据的平均数为 [(x1+60)+(x2+60)+…+(xn+60)]= (x1+x2+…+xn)

n

n

+60=2.8+60=62.8. 1 2 2 2 所得新数据的方差为 [(x1+60-62.8) +(x2+60-62.8) +…+(xn+60-62.8) ]

n

1 2 2 2 = [(x1-2.8) +(x2-2.8) +…+(xn-2.8) ]

n

=3.6. 二、填空题

6.一个样本按从小到大的顺序排列为 10,12,13,x,17,19,21,24,其中位数为 16,则 x =________. 解析:由中位数的定义知 答案:15 7.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如表所示: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 5号 7 9

x+17
2

=16,∴x=15.

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =________. 解析:计算可得两组数据的平均数均为 7, 甲班的方差 s甲= 乙班的方差
2

2



2

+0 +0 + 5

2

2



2

+0

2

2 = ; 5

s2 乙=



2

+0 +

2

- 5

2

+0 +

2



2

6 = . 5

2 2 则两组数据的方差中较小的一个为 s甲= . 5 2 答案: 5 8 . ( 湖 北 高 考 ) 某 学 员 在 一 次 射 击 测 试 中 射 靶 10 次 , 命 中 环 数 如 下 : 7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为________;(2)命中环数的标准差为________. 1 解析:(1)由公式知,平均数为 (7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7;(2)由公式知, 10

s2= (0+1+0+4+4+9+4+9+0+9)=4? s=2.
答案: (1)7 (2)2 三、解答题 9.为了了解市民的环保意识,某校高一(1)班 50 名学生在 6 月 5 日(世界环境日)这一天 调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况,有关数据如下表: 每户丢弃旧塑料袋个数 户数 2 6 3 16 4 15 5 13

1 10

(1)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数; (2)求这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差. 1 185 解:(1)平均数 x = ×(2×6+3×16+4×15+5×13)= =3.7. 50 50 众数是 3,中位数是 4. (2)这 50 户居民每天丢弃旧塑料袋的方差为

s2= ×[6×(2-3.7)2+16×(3-3.7)2+15×(4-3.7)2+13×(5-3.7)2]= ×48.5=
0.97, 所以标准差 s≈0.985. 10.某校甲班、乙班各有 49 名学生,两班在一次数学测验中的成绩(满分 100 分)统计如 下表: 班级 甲班 乙班 平均分 79 79 众数 70 70 中位数 87 79 标准差 19.8 5.2

1 50

1 50

(1)请你对下面的一段话给予简要分析: 甲了 85 分,在班里算是上游了!” (2)请你根据表中数据,对这两个班的测验情况进行简要分析,并提出教学建议. 解:(1)由中位数可知,85 分排在第 25 名之后,从名次上讲,85 分不算是上游.但也不 能单以班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测验,全班平均 79 分,得 70 分的人最多,我 得名次来判断学习成绩的好坏,小刚得了 85 分,说明他对这阶段的学习内容掌握较好. (2)甲班学生成绩的中位数为 87 分,说明高于或等于 87 分的学生占一半以上,而平均分 为 79 分,标准差很大,说明低分也多,两极分化严重,建议对学习有困难的同学多给一些帮 助; 乙班学生成绩的中位数和平均分均为 79 分,标准差小,说明学生成绩之间差别较小,成 绩很差的学生少,但成绩优异的学生也很少,建议采取措施提高优秀率.


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